分?jǐn)?shù)階Fourier變換應(yīng)用于水聲通信及其FPGA實(shí)現(xiàn)

　　摘要：線性調(diào)頻信號(hào)瞬時(shí)頻率隨時(shí)間呈線性變化，其在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域中具有能量聚焦特性，利用這一特性，將分?jǐn)?shù)階傅立葉變換應(yīng)用于由LFM信號(hào)充當(dāng)信息載體的水聲通信體制中。研究表明：該應(yīng)用能夠提高系統(tǒng)的抗噪聲干擾、抗多徑干擾和頻率選擇性衰減的能力。并在FPGA上完成了該方法的實(shí)現(xiàn)，驗(yàn)證了算法的可行性。

　　引言

　　近年來(lái)，隨著海洋活動(dòng)增多，水聲通信逐漸嶄露頭角。早期的水聲通信多使用模擬調(diào)制技術(shù)^[1][2]，而新的水聲通信系統(tǒng)開(kāi)始采用數(shù)字調(diào)制技術(shù)。主流數(shù)字調(diào)制技術(shù)有幅移鍵控(ASK)、頻移鍵控(FSK)和相移鍵控(PSK)^[3]。由于水聲信道的特殊性，水聲通信的發(fā)展遠(yuǎn)遠(yuǎn)滯后。該信道中，線性調(diào)頻信號(hào)性能優(yōu)良^[4]。線性調(diào)頻信號(hào)在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域中具有能量聚焦特性，將其應(yīng)用于水聲通信中，能夠提高系統(tǒng)的抗噪聲干擾、抗多徑干擾和頻率選擇性衰減的能力^[5]。

　　分?jǐn)?shù)階Fourier變換(Fractional Fourier Transform: FRFT)是一種統(tǒng)一的時(shí)頻變換，它用單一的變量同時(shí)反映出信號(hào)在時(shí)域和頻域的信息，避免了交叉項(xiàng)的困擾。這使得FRFT比傳統(tǒng)的Fourier變換(Fourier Transform: FT)更適合處理非平穩(wěn)信號(hào)，特別是Chirp類信號(hào)。FRFT發(fā)展至今，理論研究較多，但將其進(jìn)行硬件實(shí)現(xiàn)的較少。本文基于Ozaktas的分解型算法^[6]，結(jié)合數(shù)字信號(hào)處理方法^[7]，初步研究了基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換的U域調(diào)制的水聲通信算法，并在FPGA上進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)。

　　分?jǐn)?shù)階Fourier變換基本原理

　　分?jǐn)?shù)階Fourier變換的定義

　　Fourier變換是一種線性算子，若將其看作從時(shí)間軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2到頻率軸，則FRFT是從時(shí)間軸旋轉(zhuǎn)任意角α到分?jǐn)?shù)階域(U域)的算子，它聯(lián)系起時(shí)域與分?jǐn)?shù)階域。因此，可認(rèn)為FRFT是一種廣義的FT。

　　定義在時(shí)域的函數(shù)x(t)的p階FRFT是一個(gè)線性積分運(yùn)算，其定義式為：
???????? ?

　　FRFT可以理解為Chirp基分解。一個(gè)Chirp信號(hào)在某個(gè)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階域(U域)對(duì)應(yīng)一個(gè)沖擊函數(shù)。因此，Chirp信號(hào)通過(guò)FRFT在某個(gè)分?jǐn)?shù)階域(U域)具有良好的能量聚焦性能。

　　采樣型離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換的快速算法

　　由FRFT的定義可知，DFRFT的計(jì)算比DFT復(fù)雜許多。所以DFRFT在計(jì)算上的有效性很重要，一般希望DFRFT的計(jì)算復(fù)雜度可與FFT相比。DFRFT定義方法可采用直接采樣連續(xù)分?jǐn)?shù)階Fourier變換核來(lái)得到DFRFT核矩陣。

　　Ozaktas的采樣型算法由H.M.Ozaktas提出^[8]：根據(jù)連續(xù)FRFT的積分定義式，將FRFT的復(fù)雜積分變換分解為若干簡(jiǎn)單的計(jì)算步驟，然后經(jīng)兩步離散化處理得到一個(gè)離散卷積表達(dá)式，這樣便可利用FFT來(lái)計(jì)算FRFT。因此，這種算法的計(jì)算速度幾乎和FFT相當(dāng)。本文FRFT的FPGA實(shí)現(xiàn)主要采用這種方法，并對(duì)這種算法做一個(gè)實(shí)現(xiàn)上的改進(jìn)。

　　Ozaktas的采樣型算法將FRFT分解為以下三步運(yùn)算：

　　(1)Chirp信號(hào)調(diào)制原信號(hào)x(t)，;?

　　(2)調(diào)制信號(hào)與另一個(gè)Chirp信號(hào)卷積，;?

　　(3)用Chirp信號(hào)調(diào)制卷積后的信號(hào)，。?

　　這種快速算法的機(jī)理決定了在進(jìn)行FRFT數(shù)值計(jì)算前必須對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行量綱歸一化處理，參考文獻(xiàn)^[9][10]提出了兩種實(shí)用的量綱歸一化方法：離散尺度化法和數(shù)據(jù)補(bǔ)零/截取法。