基于數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)的PWM裝置數(shù)學(xué)模型分析

摘要：通過分析SKJ-II型數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)中PWM裝置的工作原理，建立了模型公式并推算出理論傳遞函數(shù)關(guān)系。根據(jù)模型公式得到了PWM裝置系統(tǒng)化的理論傳遞函數(shù)，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論傳遞函數(shù)的正確性，并指出模型中電源電壓需要考慮開關(guān)的管壓降問題。對于應(yīng)用PWM技術(shù)進(jìn)行功率變換的控制系統(tǒng)的建模有理論指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)；控制器；數(shù)學(xué)模型

1 引言

目前，直流PWM調(diào)速系統(tǒng)憑借開關(guān)頻率高，低速運(yùn)行穩(wěn)定，動(dòng)態(tài)性能優(yōu)良等優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用日益廣泛，特別是在中、小容量的高動(dòng)態(tài)性能系統(tǒng)中。

PWM控制與變換器(簡稱PWM裝置)是直流脈寬調(diào)速系統(tǒng)中的重要組成環(huán)節(jié)，而對于PWM裝置的數(shù)學(xué)模型，文獻(xiàn)中僅給出最后近似的傳遞函數(shù)，并未解釋其中框圖變換的過程和參數(shù)分析。SKJ-II型數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)部含有調(diào)速環(huán)，其中就包含PWM裝置，這里基于該系統(tǒng)中使用的PWM裝置模型進(jìn)行拓展分析，以便獲得其模型的推導(dǎo)及變換過程，為PWM裝置模型提供必要的理論依據(jù)。

2 模型建立與框圖分析

SKJ-II型數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。功率放大器環(huán)節(jié)起到PWM控制器和PWM變換器的作用。

為了方便研究，將功率放大器環(huán)節(jié)內(nèi)容分為兩步，分別簡稱為PWM控制器和H橋，UX11(s)信號作為PWM裝置的輸入，Ud(s)為PWM裝置的輸出，ρ(s)為中間量。

2．1 靜態(tài)分析

實(shí)現(xiàn)PWM控制器的電路如圖2所示。預(yù)建立PWM裝置的模型，先確定其輸入信號，輸入信號為UX11(X11端輸入信號)，該信號由系統(tǒng)前端的電流調(diào)節(jié)器的輸出決定。圖中，XJ7端為三角波發(fā)生電路的輸出端，三角波發(fā)生電路中運(yùn)算放大器A1：A構(gòu)成加法器，運(yùn)算放大器A1：B構(gòu)成反向積分器，電位器P2主要用來控制產(chǎn)生的三角波的頻率，2DW232是雙向穩(wěn)壓二極管，起了限幅的作用。運(yùn)算放大器A3：A以及外圍電阻構(gòu)成了一個(gè)反相加法放大電路，由于放大倍數(shù)較大，故小信號時(shí)才線性放大，大信號時(shí)會工作在非線性飽和狀態(tài)。

當(dāng)X11端輸入信號接地，即UX11=0 V時(shí)，利用GDS1102A數(shù)字示波器測量XJ7端和X12端的波形，分別記為uXJ7和uX12，兩者波形如圖3所示。

當(dāng)uXJ7較小時(shí)，反相放大倍數(shù)為50；當(dāng)uXJ7較大時(shí)，運(yùn)算放大器A3：A會飽和，輸出波形是正負(fù)對稱的梯形波，但圖中輸出波形很接近矩形波，稱該梯形波為近似矩形波，其占空比是50．81％。

PWM控制是對脈沖的寬度進(jìn)行調(diào)制的技術(shù)，在此通過調(diào)制近似矩形波的占空比來實(shí)現(xiàn)PWM控制。當(dāng)X11端輸入電壓信號，則近似矩形波占空比會產(chǎn)生相應(yīng)改變。當(dāng)運(yùn)算放大器A3：A工作在線性狀態(tài)，忽略調(diào)零通路作用，則流過R18電流為零，規(guī)定電流經(jīng)R21，R20，R17一端流向R21，R20，R17的公共端為電流的正方向，并假設(shè)運(yùn)放為理想運(yùn)算放大器，根據(jù)KCL定理可得：

iR21+IR17+iR20=0 (1)

根據(jù)理想運(yùn)算放大器的性質(zhì)可知UA3_2=0 V，由歐姆定律可得：

分析X11端輸入U(xiǎn)X11為零時(shí)情況，記X12端飽和輸出電壓為+U0。當(dāng)uX12=-U0(即負(fù)飽和)時(shí)，代入式(3)可得：uXJ7=U0R21／R20；當(dāng)uX12= U0(即正飽和)時(shí)，代入式(3)可得：uXJ7=-U0R21／R20。記XJ7端輸出三角波的幅值范圍為[-U1，U1]，周期為T，則有X12端輸出梯形波單個(gè)周期的線性放大時(shí)間t1、輸出正飽和時(shí)間t2、輸出負(fù)飽和時(shí)間t3為：

t1=(R21U0)T／(R20U1)，t2=t3=0．5(T-t1) (4)

按照矩形波占空比的定義，則有PWM控制器輸出矩形波的占空比為：

當(dāng)然，實(shí)際輸出波形并非理想的矩形波，而是梯形波，具體梯形波如何描述占空比暫且不討論，假設(shè)各周期內(nèi)線性區(qū)工作時(shí)間t1相對于這個(gè)周期的總時(shí)間T非常小，則可忽略其線性區(qū)時(shí)間t1，則X12端輸出矩形波的占空比ρ=t2／(t2+t3)=0．5。

由上述推算可以得到結(jié)論：當(dāng)輸入U(xiǎn)X11=0 V時(shí)，若uXJ7為正負(fù)對稱的理想三角波，則運(yùn)放器A3：A的反相端輸入信號(R20／R21)uXJ7依然為正負(fù)對稱的三角波。X12端占空比為50％，即輸出負(fù)飽和時(shí)間與輸出正飽和時(shí)間相等，實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果如圖3所示，示波器中顯示占空比為50．81％，有1．62％的誤差，除了示波器的測量誤差還應(yīng)注意此處計(jì)算占空比忽略了線性區(qū)時(shí)間t1。