S波段耦合腔行波管非線性注一波互作用方程組的數(shù)值
1 基本方程
1.1 激發(fā)方程
令第n次本征模式軸向電場(chǎng)為:
可得擾動(dòng)電子注激勵(lì)的電場(chǎng)為:
式中:定義為n次諧波的耦合阻抗;
ψ(r⊥)為電子注橫向分布函數(shù)y)ds。所有本征模中只有個(gè)別模式與電子注同步,且除了電子流i(z)激發(fā)的同步波之外,還有輸入的“冷波”,即E0e-r0z,則具有外加激勵(lì)源E0e-r0z的同步場(chǎng)為:
式中:K0,г0,β0分別為該同步模式的耦合阻抗、傳播常數(shù)、相位常數(shù)。式(1)兩邊同時(shí)對(duì)z求導(dǎo)2次得到熟知的激發(fā)方程:
1.2 運(yùn)動(dòng)方程
相對(duì)論下電子的運(yùn)動(dòng)方程為:
能量守恒方程為:
式(4)代入式(3)可得一維電子運(yùn)動(dòng)方程:
又由:
所以式(5)可寫為:
其中:Ez=Ecz(線路場(chǎng))+Esz(空間電荷場(chǎng));y=(1一v2/c2)-1/2為相對(duì)論因子,c為真空中的光速,v為電子速度。
1.3 電子流復(fù)振幅方程
電子流是時(shí)間的非簡(jiǎn)諧周期函數(shù),含有高次諧波,用傅氏分析。
2 慢變系統(tǒng)中歸一化
上述是在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系下得到的迅變方程,為了處理問(wèn)題的方便和計(jì)算結(jié)果普遍性強(qiáng),通常將其歸一化到電子坐標(biāo)系內(nèi),獲得慢變方程。
為了表述方便,先引入迅變坐標(biāo)系的歸一化量:歸一化距離為ξ=ω/v0z=βez;歸一化時(shí)間為φ=ωt=2πt=/T,歸一化場(chǎng)為f=|e|E/mvoω。則慢變系統(tǒng)中的歸一化:歸一化軸向距離為θ=Cξ=Cβez;歸一化相位φe=ψ-ξ;歸一化場(chǎng)幅值為Fcn(θ)=(eE/C2mvoω)ejnθ;歸一化電流幅值為
式(8)~(10)組成了行波管大信號(hào)注一波互作用基本工作方程組。其中Cn3=I0Kcn/4V0為n次諧波增益參量,bn=(V0一Vpn)/C1Vpn非同步參量,dn=aon/βeCn為衰減常數(shù),rn=bn-idn。
3 空間電荷場(chǎng)的計(jì)算
由文獻(xiàn)可知z0處圓盤在z處圓盤平面上各點(diǎn)產(chǎn)生的平均空間電荷場(chǎng)為:
其中:Q為圓盤所帶電量;6為電子注半徑;a為漂移管半徑,如圖1所示,μ0n為零階Bessel函數(shù)的第n個(gè)根。由此可知場(chǎng)是關(guān)于z的函數(shù),可以表示為:
其中:B(| z―z0|)是以| z―z0|為變量的函數(shù),由式(11)可以做出如圖1所示曲線。
評(píng)論