高階電路動態(tài)特性的仿真分析

作者/ 賀為婷 楊建華 西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院(陜西 西安 710032)

摘要：為了準(zhǔn)確直觀地觀測電路的動態(tài)變化過程，采用四種方法對一電路實(shí)例進(jìn)行仿真分析：用積分法求解狀態(tài)方程，用拉普拉斯變換法求解s域的方程組，用數(shù)值積分函數(shù)求微分方程的數(shù)值解，構(gòu)建微分方程的Simulink模型觀測響應(yīng)曲線。四種方法的仿真結(jié)果完全一致且與電路理論相符。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Matlab程序簡潔、可讀性強(qiáng)且計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，同時(shí)它形象直觀，改變參數(shù)方便，能夠彌補(bǔ)硬件實(shí)驗(yàn)的不足。Matlab在電路理論學(xué)科研究與工程實(shí)踐中都具有很好的應(yīng)用價(jià)值。

引言

　　高階動態(tài)電路的分析通常都?xì)w結(jié)為高階微分方程或一階微分方程組的求解，需要微分方程和矩陣?yán)碚摰南嚓P(guān)知識，掌握起來比較困難。對于復(fù)雜的高階電路，用求解微分方程的方法則更加困難，一是列寫微分方程，二是根據(jù)變量及變量的各階導(dǎo)數(shù)的初始值確定積分常數(shù)。若借助合適的仿真軟件，則可以使電路的分析變得方便、準(zhǔn)確和直觀。電路仿真是電路分析及電路教學(xué)的重要手段，它形象直觀，改變參數(shù)方便，能夠彌補(bǔ)硬件實(shí)驗(yàn)的不足^[1]。

　　Matlab是目前最為流行的工程軟件之一，它具備強(qiáng)大的計(jì)算、仿真和繪圖功能，能方便地繪制二維、三維圖形和相量圖。運(yùn)用該軟件，可以方便地研究各類系統(tǒng)問題，包括電路仿真分析。對于動態(tài)過程，用圖形來顯示會更加直觀，它可動態(tài)地演示復(fù)雜電路各參量的變化過程，從而加深對電路的理解和認(rèn)識。對于動態(tài)過程中某時(shí)刻的情況可以有一個(gè)定量的認(rèn)識，對工程上解決系統(tǒng)處在動態(tài)階段的問題有一定的指導(dǎo)意義[2]。

　　本文以求解圖1所示電路的電容電壓和電感電流為例，介紹四種基于Matlab的電路動態(tài)過程的分析方法。

1 積分法求解狀態(tài)方程

　　一個(gè)二階電路如圖1所示，開關(guān)K原來是打開的，電路已經(jīng)穩(wěn)定，uc(0)=1V，il(0)=2A。電源電壓及各元件的參數(shù)值標(biāo)示于圖中。在t=0時(shí)，將開關(guān)K閉合，求t≥0時(shí)的電容電壓uc(t)及電感電流il(t)的變換規(guī)律^[3]。

　　積分法求解狀態(tài)方程：如果一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)描述方程為：

　　則該系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)為：

　　其中。

　　對于圖1所示的電路，以電容電壓uc和電感電流il為狀態(tài)變量，則建立電路的狀態(tài)方程為：

　　編程求解狀態(tài)響應(yīng)uc(t)與il(t)：

　　syms x1 x2 s t z ;

　　A=[-1/2,1;-1/2,-2]; Bu=[0;6];

　　X=[x1;x2];X0=[1;2];

　　Asi=eye(2)*s-A; % s*I-A;

　　AA=inv(Asi); % [s*I-A]-1;

　　eAt=ilaplace(AA); %e A t=L-1[([sI-A]-1];

　　eAtz=subs(eAt,t,t-z); %求eA(t-z);

　　X= eAt*X0+int(eAtz*Bu,z,0,t); % Bu= B*u(z);

　　uc=X(1), il=X(2)

　　運(yùn)行程序得：

　　uc = 3*exp(-3/2*t)-6*exp(-t)+4

　　il = -3*exp(-3/2*t)+3*exp(-t)+2

　　即電容端電壓和電感中電流的解析解為：

　　積分法求解電路響應(yīng)的過程是：以電容電壓和電感電流為狀態(tài)變量建立電路的狀態(tài)方程;根據(jù)狀態(tài)方程確定矩陣A、B;求矩陣指數(shù)eAt;根據(jù)方程式(2)求狀態(tài)變量的解析表達(dá)式，最后求出要求電量的解析表達(dá)式^[4]。

2 用Matlab拉普拉斯變換法求解

　　時(shí)域分析法用于高階電路的分析計(jì)算時(shí)，確定初始條件和積分常數(shù)非常繁瑣。可采用拉普拉斯變換法來求解。將時(shí)域電路變換為復(fù)頻域電路，即運(yùn)算電路[5]。在運(yùn)算電路的基礎(chǔ)上，用與直流電阻電路相同的方法進(jìn)行分析，建立s域描述方程。通過對s域方程的運(yùn)算，得到電路中待求電量的象函數(shù)F(s)，對象函數(shù)F(s)進(jìn)行拉氏反變換就得到對應(yīng)的時(shí)域解f(t)。

　　圖1對應(yīng)的運(yùn)算電路如圖2所示，由運(yùn)算電路得：

　　針對方程組(6)進(jìn)行MATLAB編程：

　　syms t s;

　　A=[-1 4*s^2+8*s+2;2*s+1 -2];

　　B=[8*s+22;2];

　　AA=inv(A); %A的逆陣;

　　X=AA*B;

　　Us=X(1); %電容電壓的象函數(shù);

　　Is=X(2); %電感電流的象函數(shù);

　　Uc(t)=ilaplace(Us), il(t)=ilaplace(Is)

　　程序運(yùn)行結(jié)果為：

　　Uc(t) =3*exp(-3/2*t)-6*exp(-t)+4

　　Il(t) =-3*exp(-3/2*t)+3*exp(-t)+2

　　該結(jié)果與方法1的結(jié)果完全一致，即電容電壓uc(t)和電感電流il(t)的解析表達(dá)式同式(5)。

3 用ODE函數(shù)求微分方程的數(shù)值解

　　基于龍格-庫塔法，MATLAB提供了一套求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)，可以根據(jù)不同的對象選擇不同的算法。其函數(shù)格式如下：

　　[X,Y]=ode23(‘f’,[x0,xn],Y0)

　　[X,Y]=ode45(‘f’,[x0,xn],Y0)

　　其中：X，Y是兩個(gè)相量，X對應(yīng)自變量x在求解區(qū)間[x₀, x_n]的一組采樣點(diǎn)，其采樣密度是自適應(yīng)的，無需指定;Y是與X對應(yīng)的一組解。f是一個(gè)M函數(shù)文件，代表待求解方程。[x0,xn]代表自變量的求解區(qū)間。Y0=Y(X0)，由方程的初值給定。函數(shù)在求解區(qū)間[x₀,x_n]內(nèi)，自動設(shè)立采樣點(diǎn)向量X，并求出解函數(shù)Y在采樣點(diǎn)X處的樣本值^[6]。

　　本文選用采用了四階、五階龍格-庫塔法的ode45函數(shù)，它采用自適應(yīng)變步長的求解方法，即當(dāng)解的變化較慢時(shí)，采用較大的步長，從而提高了計(jì)算速度;當(dāng)解的變化較快時(shí)，步長會自動地變小，可以提高計(jì)算的精確度。

　　圖1的狀態(tài)方程為式(1)，初始條件為：uc(0)=1V，il(0)=2A，MATLAB程序如下：

　　function dy = myfun (t, y); % 將方程式定義為函數(shù)文件并取名存盤以便調(diào)用

　　dy= zeros(2,1); %變量y為兩行一列相量

　　dy(1)= -1/2*y(1)+ y(2);

　　dy(2)= -1/2*y(1)-2*y(2)+6;

　　[t,y]= ode45(‘myfun’,[0,10],[1,2]); % 調(diào)用ODE函數(shù)并代入初始條件

　　t’; %轉(zhuǎn)置顯示自變量的一組采樣點(diǎn)

　　y(:,1)’;y(:,2)’;% 轉(zhuǎn)置顯示y(1)、y(2)與采樣點(diǎn)對應(yīng)的一組數(shù)值解

　　uc= y(:,1);

　　il = y(:,2);

　　plot(t,uc,’linewidth’,1.5);%繪制uc波形，波形線寬為1.5

　　grid; set(gcf,’color’,’w’) % 打開網(wǎng)格;使輸出圖形的背景為白色

　　axis([0 10 0.8 4.2]); % 設(shè)定坐標(biāo)軸的范圍

　　set(gca,'xtick',[0 2 4 6 8 10]); %設(shè)置x軸刻度標(biāo)示

　　set(gca,'ytick',[1 2 3 4]); %設(shè)置y軸刻度標(biāo)示

　　xlabel(‘自變量t /s’) ; % x軸加注釋

　　ylabel(‘因變量uc /v’); % y軸加注釋

　　title(‘uc的波形’); % 圖形正上方加注釋

　　figure; %打開第二個(gè)圖形界面

　　plot(t,il,’linewidth’,1.5); %繪制il波形，波形線寬為1.5

　　grid; set(gcf, ‘color’, ’w’);

　　axis([0 10 1.9 2.5]); %設(shè)定坐標(biāo)軸的范圍

　　set(gca,'xtick',[0 2 4 6 8 10]);

　　set(gca,'ytick',[2 2.2 2.4]);

　　xlabel(‘自變量t /s’);

　　ylabel(‘因變量il /A’);

　　title(‘il的波形’);

　　在此，由于篇幅有限，沒有顯示自變量的采樣點(diǎn)和與采樣點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)值解，而只是將解以圖形的方式輸出，如圖3和圖4。從結(jié)果看出，用數(shù)值積分ODE函數(shù)求解狀態(tài)方程簡單方便，易于理解和掌握。與其它語言程序相比，可大大節(jié)省編程時(shí)間[7]。

4 構(gòu)建微分方程的simulink模型求解

　　對于形如y''=ay'+by+c的微分方程，構(gòu)建simulink模型的核心思想是：y''經(jīng)過積分得y'，y'經(jīng)過積分得y，而y'、y經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算又可得到y(tǒng)''。由微分方程式(4)得：

　　根據(jù)式(7)，可構(gòu)建出圖5所示的simulink模型。其中用到兩個(gè)積分模塊、兩個(gè)求和模塊、兩個(gè)比例模塊和一個(gè)恒定模塊。兩個(gè)示波器用于輸出uc和il的圖形^[8]。

　　simulink模型建成以后，要對uc和il設(shè)置初值：uc(0)=1V，il(0)=2A，雙擊uc模塊將初始值設(shè)為1V，雙擊il模塊將初始值設(shè)為2A。設(shè)置示波器的信號顯示范圍：scope1,t:0—10s,Y:0.8—4.2;scope2,t:0—10s,Y:1.9—2.5。

　　開始仿真：選擇simulation下的parameter命令，設(shè)置仿真的start time為0s，stop time為10s。最后選擇simulation下的start命令進(jìn)行仿真，或擊模型窗口工具欄上黑色右三角圖標(biāo)進(jìn)行仿真。

　　雙擊示波器scope1和scope2，則會得到圖6和圖7，與圖3和圖4的uc和il曲線完全相同，即兩種仿真結(jié)果一致。

5 結(jié)論

　　通過本文介紹的幾種動態(tài)電路的分析方法看到：積分法求解動態(tài)電路，以電容電壓和電感電流為狀態(tài)變量建立電路的狀態(tài)方程，根據(jù)狀態(tài)方程求出狀態(tài)變量的解析表達(dá)式;用ODE函數(shù)求解微分方程組，對求解動態(tài)電路帶來了極大方便，并給出了解的直觀圖形;利用Matlab語言直接進(jìn)行拉氏變換求解動態(tài)電路，大大提高了計(jì)算效率;而利用Matlab的Simulink功能得到了一種全新的求解暫態(tài)電路的思路。 Matlab的編程效率高、語言簡練、繪圖方便。運(yùn)用Matlab可使電路的分析運(yùn)算變得方便和快捷。運(yùn)用Matlab語言編程和Simulink仿真的方法對復(fù)雜電路進(jìn)行分析和計(jì)算，不僅可以節(jié)約計(jì)算時(shí)間、方便地調(diào)試電路參數(shù)，還可以通過圖形非常直觀地觀察到其響應(yīng)的過渡過程[10]。所以Matlab在電路理論學(xué)科研究與工程實(shí)踐中都具有很好的應(yīng)用價(jià)值。

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本文來源于中國科技期刊《電子產(chǎn)品世界》2016年第11期第59頁，歡迎您寫論文時(shí)引用，并注明出處。