數(shù)字示波器的信號(hào)保真度探析

那么，測(cè)試數(shù)字信號(hào)或脈沖應(yīng)該選擇多高帶寬的示波器呢？這首先么考慮被測(cè)數(shù)字信號(hào)或脈沖的帶寬，被測(cè)數(shù)字信號(hào)或脈沖的帶寬主要由其邊沿決定，計(jì)算公式是：

信號(hào)帶寬BWsignal＝0.5/Tr（10%～90%）或BWsignal＝0.4/Tr（20%～80%）

參考：Howard Johnson and Martin Graham, "High-Speed Digital Design: A Handbook of Black Magic", Prentice Hall, 1993 (ISBN:0133957241)第13頁(yè)，文中用Fknee表示信號(hào)的帶寬，圖6是從里面拷貝過(guò)來(lái)的。

圖6：數(shù)字信號(hào)或脈沖的Fknee頻率計(jì)算或其帶寬計(jì)算

那么示波器需要多高的帶寬才能把Fknee頻率以內(nèi)的信號(hào)都捕獲到呢？對(duì)高斯頻響，因?yàn)?3dB帶寬內(nèi)對(duì)頻譜有一定的影響，為捕獲Fknee頻率以內(nèi)的信號(hào)，需要2倍Fknee頻率以上的帶寬（或信號(hào)帶寬的2倍以上）才能保證很小的頻譜誤差，保證很小邊沿誤差。對(duì)Flat頻響示波器，因?yàn)?3dB帶寬內(nèi)影響相對(duì)較小，則示波器帶寬需要為信號(hào)帶寬或Fknee頻率1.4倍以上。

ADC采樣和波形重建

ADC采樣是數(shù)字示波器里非常關(guān)鍵的部分，足夠的采樣率也是保證示波器信號(hào)保真度的關(guān)鍵之一。那么實(shí)時(shí)捕獲數(shù)據(jù)時(shí)需要多高的采樣率呢？示波器如何準(zhǔn)確進(jìn)行波形重建呢？這要從Nyquist采樣定理談起。

一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)經(jīng)過(guò)理想采樣以后，它的頻譜將沿著頻率軸從ω=0(圖7上W代表字符ω)開(kāi)始，每隔一個(gè)采樣頻率ωs重復(fù)出現(xiàn)一次（當(dāng)然還有乘以一個(gè)常數(shù)1/T），即頻譜產(chǎn)生了周期延拓。如圖5所示，理想采樣信號(hào)的頻譜是頻率的周期函數(shù)，它的頻域周期等于采樣頻率ωs。這種頻譜周期重復(fù)現(xiàn)象我們也可以從脈沖調(diào)制的角度得到解釋，由于脈沖序列M(t)具有相等大小的各階諧波分量，因而當(dāng)M(t)被x(t)調(diào)制以后，x(t)的頻譜就被調(diào)制到M(t)的各階諧波上，出現(xiàn)基帶的頻譜搬移。X’(jω)正是這些頻譜的總合。

圖7：AD采樣，頻譜周期延拓

從圖7上可以看出，如果x(t)是個(gè)實(shí)帶限信號(hào)，并且最高頻譜不超過(guò)ωs/2,那么，在理想采樣信號(hào)的頻譜中，基帶頻譜以及各次諧波調(diào)制頻譜彼此是不重疊的。如果用一個(gè)帶寬為ωs/2的理想低通濾波器是可以將各次調(diào)制頻譜濾掉的，從而只保留不失真的基帶頻譜，也就是說(shuō)，可以不失真的還原出原來(lái)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)來(lái)。設(shè)想理想低通濾波器的頻率特性為：

G(jω)=T(當(dāng)|ω|<ωs/2)，G(jω)=0(當(dāng)|ω|>=ωs/2)

則理想低通濾波器輸出信號(hào)y(t)的頻譜為：

Y(jω)=X’(jω)G(jω)=X(jω)

因此，在理想低通濾波器的輸出端就可恢復(fù)原連續(xù)時(shí)間信號(hào)：

y(t)=x(t)

這就是Nyquist定理，即只要采樣頻率fs>=2fm，其中fm是x(t)的最高頻率，則由理想采樣信號(hào)x’(t)就能不失真的恢復(fù)連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)。但如果信號(hào)的最高頻率超過(guò)了ωs/2（或fm超過(guò)了fs/2），那么理想采樣信號(hào)的頻譜中，各次調(diào)制頻譜就會(huì)互相交疊起來(lái)，這就是頻譜混疊現(xiàn)象，而用基帶濾波器就不能不失真地濾出基帶頻譜，恢復(fù)出來(lái)的信號(hào)相對(duì)于x(t)也就失真了。

那么在示波器的波形重建中如何應(yīng)用Nyquist理論呢？這就是正弦內(nèi)插(sinx/x內(nèi)插)，即在實(shí)際采樣點(diǎn)之間通過(guò)正弦內(nèi)插算法插入足夠的點(diǎn)，這些插入的點(diǎn)在采樣率滿足Nyquist定理時(shí)與實(shí)際在此位置的值是同樣的，這樣插入的點(diǎn)與采樣的點(diǎn)一起提供足夠的點(diǎn)數(shù)把波形重建出來(lái)。如何進(jìn)行正弦內(nèi)插呢？讓我們來(lái)看看信號(hào)x’(t)通過(guò)理想低通濾波器的響應(yīng)過(guò)程。由理想低通濾波器的頻率特性G(jω)可到其沖激響應(yīng)為：

g(t)=1/(2π)∫+-∞G(jω)ejωtdω=T/(2π)∫+-ωsejωtdω

=sin(ωs t /2)/(ωs t /2)

=sin(πt/T)/(πt/T)

根據(jù)卷積公式，通過(guò)低通濾波器的信號(hào)輸出為：

y(t)=∫+-∞x’(τ)g(t-τ)dτ

=∑n=-∞to∞x(nT)g(t-nt)

這里g(t-nt)=sin(π(t-nT)/T)/(π(t-nT)/T)稱為內(nèi)插函數(shù)。

由于y(t)=x(t),因此：

x(t)=y(t)=∑n=-∞to∞x(nT)sin(π(t-nT)/T)/(π(t-nT)/T)

此公式稱為采樣內(nèi)插公式，它表明了連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)如何由它的采樣序列x(nT)來(lái)恢復(fù)，即x(t)等于x(nT)乘上對(duì)應(yīng)內(nèi)插函數(shù)的總和。在每個(gè)采樣點(diǎn)上，由于只有該采樣值所對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)不為0，所以很明顯，上式保證了在各采樣點(diǎn)上信號(hào)值不變，而采樣點(diǎn)之間的信號(hào)則是由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形伸展疊加而成。這也正是理想低通濾波器G(jω)中的響應(yīng)過(guò)程。

此內(nèi)插公式的意義在于證明：只要滿足了采樣頻率大于信號(hào)最高頻率兩倍，整個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)可由它的采樣序列(或離散時(shí)間信號(hào)x(nT))恢復(fù)，而不丟失任何信息。此時(shí)x(nT)完全可以代表x(t)，兩者等價(jià)，含的信息是一樣的，即x(nT)是x(t)的另一種表現(xiàn)形式。但是當(dāng)采樣率不滿足采樣定理時(shí)，x(t)所含的信息比x(nT)多，由x(nT)不能準(zhǔn)確恢復(fù)x(t)，也就不存在上式的關(guān)系。

對(duì)于數(shù)字示波器來(lái)說(shuō)，被測(cè)的數(shù)字信號(hào)的頻譜分量實(shí)際上是無(wú)窮的，我們?yōu)榱舜_保一定的準(zhǔn)確度，示波器或放大器的帶寬就應(yīng)該是被測(cè)信號(hào)的帶寬的2倍（高斯頻響示波器）或1.4倍（Flat頻響示波器），這樣保證足夠的頻譜分量都可以通過(guò)放大器，而在采樣的時(shí)候，應(yīng)該保證通過(guò)放大器的所有的頻譜分量都被采集到而不發(fā)生頻率混疊，這就要求采樣率應(yīng)該是示波器帶寬的4倍（高斯頻響示波器）或2.5倍（Flat頻響示波器）。此處非信號(hào)帶寬，為什么呢？因?yàn)楸粶y(cè)的數(shù)字信號(hào)的頻譜分量實(shí)際上是無(wú)窮的，放大器的濾波作用并非把-3dB帶寬的帶外信號(hào)全部濾掉，而是頻響曲線上會(huì)拖個(gè)尾巴，采樣率應(yīng)該是包括尾巴部分的2倍以上，而非僅僅是-3dB帶寬的2倍以上。對(duì)于高斯頻響示波器因?yàn)橥系奈舶洼^長(zhǎng)，所以通過(guò)實(shí)際計(jì)算采樣率需要帶寬的4倍以上，對(duì)于Flat頻響示波器，拖的尾巴相對(duì)較短，采樣率需要帶寬的2.5倍以上。如果采樣率不能滿足此要求，就會(huì)發(fā)生頻譜混疊，就會(huì)導(dǎo)致插值的錯(cuò)誤，導(dǎo)致波形的失真。

總結(jié)

綜合上述，信號(hào)保真度是數(shù)字示波器的核心衡量標(biāo)準(zhǔn)，影響數(shù)字示波器信號(hào)保真度的主要幾個(gè)因素是：探頭連接部分帶寬，探頭帶寬，示波器帶寬和頻響，采樣率。

如何選擇示波器的帶寬和實(shí)時(shí)采樣率呢？下面規(guī)則幫助我們確定(此規(guī)則保證邊沿3%測(cè)試誤差)。

1、知道你的信號(hào)的最快上升時(shí)間, tr

2、計(jì)算信號(hào)最高頻率分量（或帶寬）, Fmax（BWsignal）

Fmax（BWsignal）= 0.4 / tr(20% to 80%)

Fmax（BWsignal）= 0.5 / tr(10% to 90%)

3、計(jì)算需要的示波器帶寬, BWscope

BWscope= 2 * Fmax(BWsignal)(高斯頻響示波器)

BWscope= 1.4 * Fmax(BWsignal)(Flat頻響示波器)

4、計(jì)算需要的示波器采樣率, SRscope

SRscope= 4 * BWscope(高斯頻響示波器)

SRscope= 2.5 * BWscope(Flat頻響示波器)