完全搞懂傅里葉變換和小波（1）——總綱

　　無論是學習信號處理，還是做圖像、音視頻處理方面的研究，你永遠避不開的一個內(nèi)容，就是傅里葉變換和小波。但是這兩個東西其實并不容易弄懂，或者說其實是非常抽象和晦澀的!

　　完全搞懂傅里葉變換和小波，你至少需要知道哪些預備知識?主頁君從今天開始就將通過一些列文章告訴你他們之間的來龍去脈!本節(jié)是全部系列文章的第一節(jié)——總綱，日后我們也將按照這個思路一點一點講述所有的知識。需要說明的是，本文主要面向計算機專業(yè)或者電子信息專業(yè)的讀者，為此我們將盡量采取一些非常非常基礎(chǔ)的知識來幫助你理解。所以，題目里面講的“完全搞懂”并非是從物理學或者純數(shù)學的角度去講的，因為傅里葉變換最初是法國科學家傅里葉在研究物理學(主要是熱力學)時創(chuàng)造出來的一套理論，如果要從這個角度去說“徹底搞懂”，肯定得需要很多物理知識、復變實變分析，之類的像天書一樣的東西。這樣牽扯下去，其實很多對于學計算機或者學電子信息的人來說，其實完全沒有必要。我們要做的，就是利用你已經(jīng)掌握的知識來構(gòu)建整個體系!

　　金庸在他的武俠小說《天龍八部》里塑造了一個吐蕃國師的人物形象——“鳩摩智”。鳩摩智練武急功近利，為了在短期內(nèi)多煉成幾門功夫，往往基礎(chǔ)不打牢，就強行修煉上乘武學。用道家的小無相功催動少林的七十二絕技，看似威力無比，其實后患無窮。其實日常學習也是這樣，如果上來就記住幾個公式，然后單刀直入地去啃傅里葉變換或者小波，其實也能做出點東西來，但是由于基礎(chǔ)都是空的，所以內(nèi)化的過程幾乎是斷裂的，缺損的。無論是傅里葉變換還是小波，它們的最基本理論全部都是數(shù)學。只是大部分學生很難建立起它們之間的聯(lián)系。我們今天就從數(shù)學開始說起。

　　圖中虛線框里的內(nèi)容，都應(yīng)該是在高等數(shù)學里必學的內(nèi)容，這部分有啥不懂的，去問童校長應(yīng)該最合適不過了。首先，你應(yīng)該知道費馬定理(這個很簡單，說白了其實就是函數(shù)有極值的條件)，通過費馬定理，你可以證明羅爾定理，然后通過羅爾定理，你又可以證明拉格朗日中值定理，通過拉格朗日中值定理，你又可以繼而證明柯西中值定理。證明柯西中值定理的意義在于，它可以被用來證明泰勒公式。泰勒公式當然是一個叫做泰勒的人提出來的，但是真正證明泰勒公式的人是柯西，因為柯西知道柯西中值定理，而要證明泰勒公式就需要用到柯西中值定理。泰勒公式在我們這里有兩個用途，首先它可以用來證明歐拉公式，歐拉公式在傅里葉變換里面也是必須要用到的。其次，通過泰勒公式可以得到冪級數(shù)的展開。這是一個先導，因為無論是小波展開，還是傅里葉展開，如果你理解泰勒展式或者冪級數(shù)展開式，那么對應(yīng)的就很容易解釋，人們設(shè)計傅里葉展式和小波展式的初衷和用意了。高數(shù)里的級數(shù)主要學兩種，除了冪級數(shù)以外，另外一個就是傅里葉級數(shù)。到這里你所需要的高數(shù)知識就已經(jīng)足夠了。

　　圖中黃色框圖里的內(nèi)容都是你在數(shù)字信號處理課程里應(yīng)該學的。我們在學傅里葉變換之前，肯定要在高數(shù)里先學一個傅里葉級數(shù)，但是傅里葉級數(shù)和傅里葉變換有啥關(guān)系呢?說白了，他們的本質(zhì)是一樣一樣的，盡管它們各自公式的表達式好像差別還很大。通過傅里葉級數(shù)公式，其實你做一些化簡和變量替換(關(guān)于這部分內(nèi)容，如果讀者有興趣，主頁君后續(xù)可以給出詳細證明過程)，傅里葉級數(shù)就變成傅里葉變換了，當然是連續(xù)的。然后你根據(jù)數(shù)字信號處理里面學的采樣定理，就能到處傅里葉變換了，這就是DFT!但是DFT有個問題，如果按公式計算，效率太低，實用價值不高，后來人們就發(fā)明了一個快速算法，F(xiàn)FT!這一路下來，如果每一步，你都非常清楚，那你就已經(jīng)算是對傅里葉變換理解的很到位了。

　　然后說說小波，小波完全可以跟傅里葉變換對比著來理解，而且事實上，在小波出現(xiàn)之前，人們先創(chuàng)造出了一種叫短時傅里葉變換的東西，這可以被認為是二者之間的橋梁。當然，這部分內(nèi)容，你不知道也沒關(guān)系，你甚至可以以泰勒公式和冪級數(shù)為起點來理解小波。小波級數(shù)展開對應(yīng)的是傅里葉展開，連續(xù)小波對應(yīng)連續(xù)傅里葉變換，DWT對應(yīng)DFT。這些都非常容易理解。同樣，人們(其實主要是Mallat)也開發(fā)了一種小波的快速算法，F(xiàn)WT。FWT就像FFT在傅里葉變換中的地位。要理解FWT，你需要知道兩個基礎(chǔ)知識，一個叫做MRA，即多分辨率分析，學習MRA對于理解小波也非常有意義。因為MRA是構(gòu)建小波的一種方法。另外一個你必須要知道的東西叫做“子帶編碼”或者子帶分解。

　　要想理解子帶分解，你就必須知道QMF，即正交鏡像濾波器，而QMF是多采樣率信號處理里面的重要內(nèi)容。所以你必須有多采樣率信號處理知識的基礎(chǔ)，而多采樣率信號處理的基礎(chǔ)又是數(shù)字信號處理!另外，子帶編碼還有一個理論基礎(chǔ)，或者說，子帶編碼為啥被證明有效，這就必須要知道率失真理論的有關(guān)結(jié)論。率失真理論又是信息論的重要組成部分。所以，最后這條線路上，你的學習脈絡(luò)應(yīng)該是從信息論出發(fā)的(其實主要是互信息和率失真方面的內(nèi)容)，然后才是信號處理，然后是多抽樣率處理，然后是子帶編碼和QMF，這些你都懂了之后，F(xiàn)WT就太Easy了!當然，你直接就學FWT的算法，而不去管它到底是怎么來的，也是可以的，只是就像我之前說的，你的基礎(chǔ)基本上都是空的，你學了也只是學個招式，內(nèi)功心法幾乎不會，所以再往上走可能會遇到很多困難。

　　任何一門學科或者知識發(fā)展到現(xiàn)在少說都是幾十年了，讓我們在短短個把月之內(nèi)就學完，其實很不容易。所以看起來自己要知道的東西實在太多了，而學習的時間又是這樣的有限。但是也沒辦法，樓宇要蓋的越高，地基就勢必要打得越深。

　　另外：補充一點，后續(xù)在具體代碼實現(xiàn)時，我們采用的語言C++，在Visual C++下完成。