精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小Tips（5）：三個(gè)應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)概念

　　本文作者maxfiner，畢業(yè)于西安電子科技大學(xué)，擁有信號(hào)與信息處理專業(yè)碩士學(xué)位。maxfiner曾供職于華為通信技 術(shù)公司無線通信部門，擁有多年的工程項(xiàng)目研發(fā)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)兼?zhèn)渌惴ɡ碚撗芯浚抡骝?yàn)證，以及對(duì)應(yīng)的硬件設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)能力；具備通信物理層開發(fā)設(shè)計(jì)各個(gè)方面的實(shí)戰(zhàn) 經(jīng)驗(yàn)...

　　從事信號(hào)處理相關(guān)工作，不可避免的用到一些數(shù)學(xué)知識(shí)。通常來說，用到啥，就回頭去看啥，或者說，缺啥補(bǔ)啥。有一些數(shù)學(xué)知識(shí)，是頻繁和反復(fù)用到的，因此有必要把它們匯總下。數(shù)學(xué)方面的東西，只看數(shù)學(xué)書籍的話，一般情況下，是相當(dāng)乏味和枯燥的，但是和實(shí)際應(yīng)用結(jié)合起來，就發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力、力量和威力還是很強(qiáng)大的。和實(shí)際問題結(jié)合起來，數(shù)學(xué)也就變得有趣起來。在這里，暫時(shí)舉出三例，后續(xù)繼續(xù)豐富和完善。

　　一 復(fù)數(shù)的概念

　　復(fù)數(shù)可以說是我們從小到大一路走來，最后學(xué)到的一種數(shù)了。從歷史的角度看，它也是最后引入的幾個(gè)數(shù)之一，直到最近幾百年才開始引入并推廣應(yīng)用。它是為了解方程的方便而引入的，而且一開始還一直不被人們接受，這些人中包括很多大數(shù)學(xué)家?？梢娨粋€(gè)新的事物，一個(gè)新的概念，一種新的思想，要想被人接受是很困難的，很漫長(zhǎng)的一件事情。但是，隨著時(shí)間的發(fā)展，由于它的獨(dú)特價(jià)值，最終被人接受并廣泛應(yīng)用。復(fù)數(shù)除了解方程之外，在工程領(lǐng)域，最能體現(xiàn)復(fù)數(shù)應(yīng)用價(jià)值的是兩個(gè)方向，一個(gè)是量子力學(xué)，一個(gè)就是電磁學(xué)。

　　復(fù)數(shù)的概念在電子工程，電磁場(chǎng)與電磁波等領(lǐng)域應(yīng)用極為廣泛，在信號(hào)處理方向更是如此。不論是信號(hào)處理的基礎(chǔ)理論——傅里葉變換，還是信號(hào)的基帶表示和帶通表示，解析表示，不論是頻譜的分析，還是討論信號(hào)的時(shí)移和相位，都離不開復(fù)數(shù)這個(gè)有力的工具的支撐。

　　相關(guān)概念：

　　應(yīng)用舉例簡(jiǎn)述如下，在相關(guān)章節(jié)會(huì)分別進(jìn)行更詳細(xì)的介紹。

　　BPSK，QPSK，16QAM等調(diào)制方式，信號(hào)星座可看做信號(hào)正交分量和同相分量的復(fù)數(shù)域的表示。

　　發(fā)射機(jī)的EVM測(cè)試，即根據(jù)星座點(diǎn)在復(fù)平面上的位置進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算的目標(biāo)就是實(shí)際測(cè)得的星座點(diǎn)和參考星座點(diǎn)之間的距離，或者說就是復(fù)平面上兩個(gè)點(diǎn)的距離。

　　接收機(jī)存在某個(gè)頻率偏移時(shí)，星座圖上的星座點(diǎn)會(huì)以恒定速率旋轉(zhuǎn)，圍繞原點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)角速度和頻率偏移大小成正比。

　　電路的阻抗分析、諧振分析均以復(fù)數(shù)運(yùn)算為基礎(chǔ)。

　　實(shí)信號(hào)的頻譜是共軛對(duì)稱的。頻譜的鏡像可用共軛成分來表示。

　　安捷倫和羅德施瓦茨都有矢量信號(hào)發(fā)生器，矢量信號(hào)分析儀，這些信號(hào)都是復(fù)數(shù)形式的信號(hào)。

　　信道估計(jì)算法，本質(zhì)上可以看做是復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算。

　　發(fā)射機(jī)的正交上變頻，接收機(jī)的正交下變頻，本質(zhì)上可以看做復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算。

　　接收機(jī)頻偏的補(bǔ)償，本質(zhì)上可以看做復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算。

　　發(fā)射機(jī)鏈路和接收機(jī)鏈路上各個(gè)節(jié)點(diǎn)的功率的計(jì)算，為復(fù)數(shù)的模平方的計(jì)算，在信號(hào)功率監(jiān)測(cè)，模擬自動(dòng)增益控制（AAGC），數(shù)字自動(dòng)增益控制（DAGC）等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。

　　二 信號(hào)的伸縮和平移

　　信號(hào)的伸縮和平移，尤其是平移，在信號(hào)處理的理論和實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用。信號(hào)時(shí)域的平移和頻域的相移之間的關(guān)系，是非常奇妙而又應(yīng)用廣泛的一對(duì)關(guān)系。信號(hào)的伸縮和平移，從數(shù)學(xué)上來說，就是函數(shù)的伸縮和平移的應(yīng)用，這是高中初等數(shù)學(xué)的范疇，應(yīng)該是非常一般的，即使很久不用數(shù)學(xué)也不會(huì)忘記的一個(gè)概念和方法。但是因?yàn)樗绱说闹匾?，因此有必要單?dú)拿出來進(jìn)行一個(gè)小小的總結(jié)，從而更好的利用這一有效工具去解決各種信號(hào)處理相關(guān)的問題。這一章節(jié)專門討論和總結(jié)平移。伸縮的討論等到真正用到它時(shí)（比如信號(hào)的插值和抽?。┰龠M(jìn)行相應(yīng)描述。

　　信號(hào)的平移，最簡(jiǎn)單的是記住四個(gè)字——“加左減右”。即移動(dòng)量是正值，則整個(gè)信號(hào)波形向左移動(dòng)，即向x坐標(biāo)軸的負(fù)軸方向移動(dòng)。移動(dòng)量是負(fù)值，則整個(gè)信號(hào)波形向右移動(dòng)，即向x坐標(biāo)軸的正軸方向移動(dòng)。雖然想象左右比想象上下的心理反應(yīng)時(shí)間要慢些，但多多體會(huì)就會(huì)熟記于心的。

　　舉個(gè)例子，比如單位采樣信號(hào)為不妨想一下，和單位沖擊信號(hào)有何區(qū)別呢？），如下圖所示：

　　若是信號(hào)形式為則整個(gè)波形向左移動(dòng)5個(gè)采樣點(diǎn)，如下圖所示：

　　對(duì)于一般的一個(gè)信號(hào)可以根據(jù)單位采樣信號(hào)的平移性質(zhì)，表示成如下形式：

　　也就是說，任何一個(gè)離散信號(hào)，都可以表示成單位采樣信號(hào)的線性疊加形式。從信號(hào)與系統(tǒng)的角度來說，這是系統(tǒng)線性疊加的體現(xiàn)。這里的系統(tǒng)，當(dāng)然是線性時(shí)不變系統(tǒng)，滿足齊次性，疊加性和時(shí)不變性，這是我們所有關(guān)于信號(hào)與系統(tǒng)的分析的前提。

　　三 和差化積公式

　　積化和差公式最普遍、最頻繁的應(yīng)用就是信號(hào)的上下變頻處理。后續(xù)我們結(jié)合信號(hào)的基帶表示和帶通表示的時(shí)候會(huì)進(jìn)行更細(xì)致的描述。

　　若是一下子記不住這四個(gè)公式，可以先理解第三個(gè)，然后依次類推。雖然說數(shù)學(xué)需要理解，但是實(shí)踐證明，為了更好和更高效的應(yīng)用，一些極其常用的概念和公式還是記牢的好。

　　比如諸如積化和差之類的三角公式，比如香農(nóng)公式，比如2的N次方（2N16）。

下期開講——精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小TIps（6）：卷積是怎么得到的？敬請(qǐng)關(guān)注！

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