論頻譜中負(fù)頻率的物理意義

本文討論了信號(hào)經(jīng)過傅立葉變換所得頻譜的物理意義，其中著重于負(fù)頻率成分。許多信號(hào)與系統(tǒng)的教材中，都認(rèn)為負(fù)頻率成分沒有物理意義。本文以多方面的實(shí)例證明了負(fù)頻率成分不但具有明確的物理意義，而且有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。文章還用Matlab程序演示了如何用幾何方法求傅立葉反變換，把集總頻譜合成為時(shí)域信號(hào)，從中也可鮮明地看出負(fù)頻率成分的意義。

1.負(fù)頻率與復(fù)信號(hào)

sin(ωt)或 cos(ωt) 是兩個(gè)不同的層次。前者是反映信號(hào)在空間的全面特性，如圖1 所示。后者只研究了信號(hào)在一個(gè)平面(x-t或y-t組成的平面)上投影的特性。這就必然要丟掉一些重要的信息，以致 x=sin(ωt) 與sin(-ωt)在x-t平面中的波形沒有任何差別，這是人們對(duì)負(fù)頻率的意義產(chǎn)生疑問的直接原因之一。很顯然，在x-t或y-t的平面內(nèi)，是不可能看出旋轉(zhuǎn)的。既看不到θ，更看不到ω。只有在x-y平面上才能看到這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

2.復(fù)信號(hào)與實(shí)信號(hào)的頻譜

同樣，用ejtω或 sin(ωt)或 cos(ωt)作為核來做傅立葉變換所得的結(jié)果也是前者全面，后者片面。對(duì)實(shí)信號(hào)做傅立葉變換時(shí)，如果用指數(shù)為核，將得到雙邊頻譜。以角頻率為?的余弦信號(hào)為例，它有具有位于±?兩處的、幅度各為 0.5、相角為零的頻率特性。它的幾何關(guān)系可以用圖2表示。兩個(gè)長(zhǎng)度為 0.5 的向量，分別以±?等速轉(zhuǎn)動(dòng)，它們的合成向量就是沿實(shí)軸方向的余弦向量。而沿虛軸方向的信號(hào)為零。可見必須有負(fù)頻率的向量存在，才可能構(gòu)成純 粹的實(shí)信 號(hào) 。 所以歐公式是有其明確的幾何意義(即物理意義)的。在文獻(xiàn)[1]中給出了動(dòng)畫，并給出了正、負(fù)數(shù)字頻率的幾何解釋。

3.雙邊頻譜的工程應(yīng)用

正余弦信號(hào)中包括正負(fù)雙邊頻譜，不僅有物理意義，而且具有重要的工程價(jià)值。

1)二相異步電機(jī)的設(shè)計(jì)

根據(jù)這個(gè)概念，可以用兩路在空間正交的實(shí)信號(hào)來構(gòu)成旋轉(zhuǎn)電磁場(chǎng)，設(shè)計(jì)電動(dòng)機(jī)。上面給出了單位余弦波在正負(fù)兩個(gè)頻率上有幅度相等，相角均為零的兩根譜線;同樣，單位正弦波在同樣正負(fù)兩個(gè)頻率上也有幅度相等的譜線，不過它們的相角分別為±π/2。用立體圖表示如圖 3(a)。

如果把正弦和余弦兩個(gè)信號(hào)的正頻率成分設(shè)計(jì)得相等相反，則把它們合成以后，就只剩下負(fù)頻率成分，它就構(gòu)成一個(gè)單純負(fù)向旋轉(zhuǎn)的電信號(hào)。為此可以把正弦信號(hào)在空間上轉(zhuǎn)動(dòng)π/2，使它的正頻率譜線恰好與余弦信號(hào)的正頻率譜線反向，這樣兩個(gè)信號(hào)的合成(見圖3(b))就成為一個(gè)只有負(fù)頻率譜線的信號(hào)，當(dāng)然它在時(shí)域必然是復(fù)數(shù)信號(hào)。常用的二相異步電機(jī)就是這樣負(fù)向轉(zhuǎn)動(dòng)的。而要使該電機(jī)正轉(zhuǎn)，則要使兩者的負(fù)頻率成分互相抵消，只保留其正頻率成分。

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