四軸平臺(tái)奇異點(diǎn)機(jī)理分析

在現(xiàn)代導(dǎo)航應(yīng)用中，無(wú)論是遠(yuǎn)程導(dǎo)彈還是飛機(jī)火箭，精度已經(jīng)成為衡量其效能的首要因素。隨著多種導(dǎo)航系統(tǒng)的發(fā)展與應(yīng)用，慣性導(dǎo)航以其實(shí)時(shí)性、連續(xù)性和自主性等優(yōu)點(diǎn)，一直被廣泛應(yīng)用^[1-3]。慣導(dǎo)系統(tǒng)又分為慣性平臺(tái)系統(tǒng)和捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)，平臺(tái)相較于捷聯(lián)系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)在于通過(guò)框架隔離載體的角運(yùn)動(dòng)，使平臺(tái)臺(tái)體相對(duì)慣性空間始終保持穩(wěn)定，為導(dǎo)航解算用的加速度計(jì)提供一個(gè)良好的工作環(huán)境^[4-6]。

對(duì)于四軸平臺(tái)而言，現(xiàn)有文獻(xiàn)認(rèn)為當(dāng)其外框軸旋轉(zhuǎn)±90° 時(shí)，會(huì)出現(xiàn)隨動(dòng)伺服回路飛車現(xiàn)象，使得平臺(tái)失去全方位機(jī)動(dòng)能力。為此，近幾年國(guó)內(nèi)針對(duì)平臺(tái)系統(tǒng)的控制策略做了許多研究。文獻(xiàn)[7] 針對(duì)平臺(tái)系統(tǒng)的飛轉(zhuǎn)做了詳細(xì)研究，分析其產(chǎn)生原理并提出了算法。文獻(xiàn)[8]提出了一種對(duì)隨動(dòng)框架控制的方法，當(dāng)四軸平臺(tái)的外框軸處于奇異點(diǎn)時(shí)通過(guò)翻轉(zhuǎn)控制方法，使得四軸平臺(tái)保持其正常功能。文獻(xiàn)[9] 提出在奇異點(diǎn)斷開(kāi)回路或者對(duì)除法器限幅這兩種方案，保障四軸平臺(tái)在奇異點(diǎn)穩(wěn)定工作。這些研究雖然提出了控制策略，保障了平臺(tái)系統(tǒng)全姿態(tài)能力的機(jī)動(dòng)性，但并未從機(jī)理上對(duì)奇異點(diǎn)的原理進(jìn)行分析。為此，本文針對(duì)四軸平臺(tái)的奇異點(diǎn)機(jī)理進(jìn)行了分析，證明了奇異點(diǎn)的存在性以及奇異點(diǎn)的唯一性。

1   四軸平臺(tái)坐標(biāo)系定義及動(dòng)態(tài)模型

在機(jī)體飛行過(guò)程中，機(jī)體角速度的變化是整個(gè)系統(tǒng)的輸入，通過(guò)框架軸物理關(guān)系逐層傳遞到臺(tái)體坐標(biāo)系，并且由剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中“絕對(duì)運(yùn)動(dòng)= 牽連運(yùn)動(dòng)+ 相對(duì)運(yùn)動(dòng)”作為理論支撐，根據(jù)上述定義，由基座坐標(biāo)系b 到臺(tái)體坐標(biāo)系a 的傳遞關(guān)系可定義如下。

2   奇異點(diǎn)機(jī)理分析

四軸平臺(tái)的隨動(dòng)框架對(duì)內(nèi)框軸有伺服控制作用，通過(guò)旋轉(zhuǎn)隨動(dòng)框軸來(lái)平衡內(nèi)框軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，保障臺(tái)體軸、內(nèi)框軸和外框軸始終保持正交狀態(tài)。我們一般認(rèn)為其奇異點(diǎn)為外框軸處于±90° 時(shí)，此時(shí)隨動(dòng)框軸從Y 軸轉(zhuǎn)到Z 軸，與仍然處在Y 軸的內(nèi)框軸正交，如圖3 所示，與此同時(shí)隨動(dòng)框軸就失去了對(duì)內(nèi)框軸的伺服控制能力。

2.1 奇異點(diǎn)存在性

我們針對(duì)以往的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象推導(dǎo)其理論機(jī)理，研究四軸平臺(tái)奇異點(diǎn)存在性原理。由于四軸平臺(tái)的內(nèi)框軸始終處于零位，因此我們以內(nèi)框架角速度為平衡點(diǎn)，建立從臺(tái)體到內(nèi)框的迭代式以及從基座到內(nèi)框的迭代式，其中基座到內(nèi)框的迭代式由式(1)(2)(3) 可推出：

從臺(tái)體到內(nèi)框?yàn)椋?/p>

將式(5) 和(6) 建立等式后可得：

由于平臺(tái)隔離基座角運(yùn)動(dòng)的特性，因此，故上式經(jīng)過(guò)整理可得：

將(8) 式中第一行拿出來(lái)整理可得：

2.2 奇異點(diǎn)唯一性

其次是四軸平臺(tái)奇異點(diǎn)唯一性的證明，我們需要對(duì)式(8) 進(jìn)行化簡(jiǎn)，將其展開(kāi)后為：

對(duì)其逐步進(jìn)行化簡(jiǎn)，由于平臺(tái)隔離基座角運(yùn)動(dòng)特性的實(shí)質(zhì)是相鄰框架角速率平衡基座角速率，因此對(duì)式(10)(11)(12) 進(jìn)行逐步化簡(jiǎn)。

同理可得ω_bx和ω_by表達(dá)式，故相鄰框架系角速率與基座角速率的關(guān)系為：

而上述推導(dǎo)的前提是 若 ，由此式(8) 為：

3   結(jié)論

本文利用慣性平臺(tái)系統(tǒng)慣性空間中穩(wěn)定的原理，通過(guò)對(duì)四軸平臺(tái)的機(jī)理分析，論證了其奇異點(diǎn)無(wú)法工作的原理，同時(shí)證明了四軸平臺(tái)的奇異點(diǎn)有且只有一個(gè)，為四軸平臺(tái)的研究分析提供了強(qiáng)有力的保障。

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（本文來(lái)源于《電子產(chǎn)品世界》雜志2022年2月期）