對比兩個具有無限間斷點信號的頻譜

今天想到一個問題，  這里有兩個都帶有無窮多個間斷點的信號。它們都位于 0,1 之間。?第一個信號是從 0 開始往1前進，  每前進剩余路程的一半，幅值降低一半。?第二個信號是從 0 往 1 前進， 每次都前進剩余路程的一半。在前進的路程中出現(xiàn)一個寬度為路程長度一半的矩形脈沖信號。?根據(jù)傅里葉變換，  這兩個信號都不滿足 Dirichlet 條件。那么他們傅里葉變換是什么呢？

圖1.1.1 第一種間斷點函數(shù)

圖1.1.2 第二種間斷點信號

二、信號1頻譜

1、頻譜推導

首先求取第一個型號的頻譜。?這是它的數(shù)學表達式，?對于級數(shù)中每一項，??它都表示一個矩形脈沖，?高度為 2 的 負 n 次方，?起始點為 1 減去 2 的負 n 次方，?終點為 1 減去 2 的負 n 加 1 次方。??寬度為 2 的 負 n 加 1 次方。??寫出該脈沖信號的頻譜。?請注意， 該信號的中心應該位于 1 減去3 倍的 2 的 負n 減1次方。?

圖1.2.1 級數(shù)每一項對應的傅里葉變換

對于原信號的頻譜， ??就是需要將級數(shù)每一項的頻譜都加起來，?這樣便得到信號的頻譜了。??

下面是整理后的頻譜公式：

圖1.2.2 信號的傅里葉級數(shù)分解公式

圖2.2 第一個型號的幅度譜

2、驗證公式

這是最終推導出來的信號頻譜公式， 這也是一個級數(shù)。?下面通過離散傅里葉變換來驗證一下這個公式。

這是通過 Python 編程， 取正負 10000 之間的頻頻， 采用 10 萬個頻譜數(shù)據(jù)點，進行反變換。?計算頻譜級數(shù)取 100 級。?這是計算出來的信號波形?？梢钥吹剿c給定的信號是一致的。?在 0 點有一個過沖， ?其余其它間斷點都有過沖。?據(jù)此，不僅驗證了這個公式的有效性，  而且還可以大致推斷出該公式應該是收斂的。

圖1.2.3 第一個信號IFFT的結果

三、信號2頻譜

1、頻譜推導

對于第二個信號， ?它表述成無窮級數(shù)的形式，?其中每一項信號?對應的高度都是1，?只是他們的寬度和位置不同。??這里給出了信號所在的區(qū)域的起始位置和其中脈沖的起始和結束位置。??每一個 脈沖的頻譜對應的sinc 函數(shù)。將它們疊加起來形成整個信號的頻譜。

圖1.3.1 單個脈沖的頻譜推導

下面是推導之后的信號波形：圖片圖片

第二個信號的幅度譜

2、驗證公式

為了驗證這個公式的正確性， 依然通過Python編程， 使用離散傅里葉反變換獲得它對應的波形。?取 正負 10000之內的頻譜， 采樣 10 萬個數(shù)據(jù)點， ?進行傅里葉反變換最終得到信號的是不波形，  這個結果初步驗證了公式的正確性。?關于這個信號誤差的收斂性，以后再進行仿真驗證。?左邊是原始信號波形，  右邊是利用有限頻譜合成的信號波形。

圖1.3.2 使用有限帶寬獲得信號的近似波形

本文對于兩個具有無線間斷點信號的頻譜進行了推導，?它們都是無限級數(shù)形式，??并使用 離散傅里葉變換進行數(shù)值求解，?通過仿真波形驗證了頻譜公式的正確性。?關于它們頻譜的收斂性， 以后再進行討論。

圖2.1 信號波形及其頻譜

來源：卓晴，TsinghuaJoking