如何設(shè)計(jì)采用Sallen-Key濾波器的抗混疊架構(gòu)

此KWIK（技術(shù)訣竅與綜合知識）電路應(yīng)用筆記提供了解決特定設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)的分步指南。對于給定的一組應(yīng)用電路要求，本文說明了如何利用通用公式應(yīng)對這些要求，并使它們輕松擴(kuò)展到其他類似的應(yīng)用規(guī)格。

在任何采樣系統(tǒng)中，例如涉及ADC的測量系統(tǒng)中，有一種稱為混疊的現(xiàn)象，它可能導(dǎo)致處于較高頻帶的信號“向下折疊”到奈奎斯特頻帶，使其與目標(biāo)信號無法區(qū)分。奈奎斯特頻率是采樣速率f_s的一半。由ADC采樣的電路帶寬應(yīng)小于采樣速率的一半?；殳B會導(dǎo)致干擾信號和噪聲污染輸出，從而影響測量精度。圖1和圖2分別顯示了正確采樣（高采樣速率）和不正確采樣（低采樣速率）的例子。

圖1：采樣速率足夠高，可分辨信號

圖2：低采樣速率，混疊回到DC

有些應(yīng)用依賴頻域中的數(shù)據(jù)分析，例如狀態(tài)監(jiān)控、預(yù)防性維護(hù)、電力質(zhì)量監(jiān)控和被動聲納，對于這些應(yīng)用中使用的測量系統(tǒng)，混疊是一個特別的問題。這些系統(tǒng)通常支持寬帶寬數(shù)據(jù)采集，能夠處理頻域中的振動、功率和聲學(xué)等信號，并根據(jù)信號音和諧波的特征做出決策。監(jiān)控的性質(zhì)要求使它們對頻譜干擾特別敏感。低通濾波器是這些測量系統(tǒng)中的信號鏈設(shè)計(jì)的重要組成部分，有助于防止帶外信號和噪聲折疊到目標(biāo)信號帶寬中。

信號處理電路通常選擇有源濾波器，而不選擇無源濾波器，原因是有源濾波器提供的輸出功率增益和頻率范圍可通過修改濾波器參數(shù)來輕松調(diào)整。巴特沃茲、橢圓、貝塞爾和切比雪夫?yàn)V波器是四種最常見的有源濾波器。要選擇最合適的濾波器，實(shí)際上取決于應(yīng)用和濾波器設(shè)計(jì)過程中需要權(quán)衡的因素，如頻率響應(yīng)、級數(shù)或相位線性度。圖3顯示了每種有源濾波器的響應(yīng)，設(shè)計(jì)技巧部分會提供進(jìn)一步說明。

圖3：四類有源濾波器

這里選擇的是實(shí)現(xiàn)巴特沃斯濾波器。一旦選定了濾波器類型，通常用于支持有源極點(diǎn)對拓?fù)涞呐渲檬荢allen-Key濾波器和多反饋濾波器。此KWIK電路筆記將幫助設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)低通Sallen-Key濾波器以防止混疊。

單級Sallen-Key濾波器由有源器件（運(yùn)算放大器）和無源元件（電阻和電容）組成。運(yùn)算放大器的電壓增益由一個雙電阻分壓器設(shè)置，運(yùn)算放大器用于抑制超范圍信號。本文討論一個針對低功耗應(yīng)用的濾波器電路設(shè)計(jì)示例。所討論的原則適用于一般的濾波器設(shè)計(jì)。該設(shè)計(jì)使用10μA電源電流、低IB、零漂移運(yùn)算放大器LTC2066。我們的低功耗信號鏈產(chǎn)品系列中還有其他運(yùn)算放大器可以提供相似的結(jié)果（AD8505、LTC6258、LTC2063、ADA4505、MAX40023、MAX40108）。

圖4顯示了電路的整體原理圖，其中選擇LTC2066來實(shí)現(xiàn)Sallen-Key、雙極點(diǎn)、單位增益的低通濾波器。

設(shè)計(jì)規(guī)格示例

低功耗應(yīng)用通常使用單電源，電源電壓通常在1.8 V和3.6 V之間。圖4所示電路的設(shè)計(jì)選擇取決于傳感器輸出和應(yīng)用要求。對于這種情況，一種可能的傳感器是ADLX356B，它是一款加速度計(jì)，用于在有許多高頻干擾信號的非常嘈雜環(huán)境中測量機(jī)器的振動。圖4中電路的主要設(shè)計(jì)規(guī)格示例列在表1中。

圖4：具有單位增益的Sallen-Key低通濾波器

表1.圖4所示電路的主要設(shè)計(jì)規(guī)格

設(shè)計(jì)描述

圖4中的電路包括LTC2066，它是一款10μA電源電流、低I_B、零漂移運(yùn)算放大器，可以采用最低3.3V電源V_DD供電。LTC2066采用6引腳SC70封裝。這種低通Sallen-Key濾波器用于對加速度計(jì)的輸出進(jìn)行濾波，以防止混疊到目標(biāo)頻帶中。

濾波器的輸出表示為V_out，而V_signal表示加速度計(jì)的輸出。

設(shè)計(jì)注意事項(xiàng)

1.圖4中的電路是一種單位增益的Sallen-Key濾波器?？蓪㈦娮杈W(wǎng)絡(luò)添加到運(yùn)算放大器的反饋回路中，以給電路增加增益（參見附錄1）。品質(zhì)因數(shù)Q（衡量穩(wěn)定性方面的性能）與增益本質(zhì)上相關(guān)。為獲得最佳穩(wěn)定性，增益應(yīng)低于3。

2.品質(zhì)因數(shù)Q對于Sallen-Key濾波器可能很重要。在此設(shè)計(jì)中，Q保持√2?2，這是巴特沃茲二階濾波器的標(biāo)準(zhǔn)值?？梢哉{(diào)整Q以改變?yōu)V波器響應(yīng)。Q越高（切比雪夫?yàn)V波器），滾降速度越快，但相位線性度和幅度平坦度會下降。Q越低（貝塞爾濾波器），相位線性度越好，但抑制性能會下降。其他對于描述低通濾波器很重要的參數(shù)可見圖5上的標(biāo)識。

圖5：低通濾波器通常的幅頻表現(xiàn)

3.與理想的低通濾波器響應(yīng)不同， Sallen-Key濾波器的響應(yīng)不會在超過截止頻率后持續(xù)降低。在截止頻率之后，濾波器增益將以40dB/十倍頻程的斜率降低，直到某一頻率（取決于所選的放大器），然后濾波器增益開始以20dB/十倍頻程的斜率提高，直至變成恒定值。這種特性源于以下事實(shí)：運(yùn)算放大器不是理想的，具有有限的增益帶寬，并且輸出阻抗不是零。在超過其能力的頻率時，這種有限的增益帶寬會導(dǎo)致運(yùn)算放大器喪失活力。當(dāng)發(fā)生這種情況時，運(yùn)算放大器看起來像是連接到地的輸出阻抗，因?yàn)殡娙軨₁和C₂表現(xiàn)為短路。

不僅應(yīng)該監(jiān)視Sallen-Key濾波器的高頻特性，而且必須知道它在什么頻率開始再次提高，如圖6中的綠色曲線所示部分，而藍(lán)色曲線是理想特性。此限制被稱為阻帶限制。

圖6：阻帶限制

4.在Sallen-Key濾波器中，為電阻和電容選擇的值成反比，這意味著如果電阻較大，那么電容將較小。

當(dāng)傳感器不能很好地驅(qū)動濾波器時，使用大電阻和小電容會很有用，這樣就不會給傳感器帶來負(fù)擔(dān)。最后，Sallen-Key濾波器引入了一個問題，如設(shè)計(jì)技巧3所述，其抑制信號的能力在高頻時會降低。較大電阻可緩解此問題。

較小電阻和較大電容也有一些好處。小電阻對直流性能有利。輸入偏置電流流入運(yùn)算放大器輸入端，因此電阻值越低，直流偏移越低。這種組合還能降低噪聲。最后，在較高頻率時，小電阻會降低寄生電容對設(shè)計(jì)的影響。

對于這種低功耗設(shè)計(jì)，最好使用大電阻和小電容。

5.選擇無源元件值（電阻和電容）時，應(yīng)考慮容差。

例如，當(dāng)選擇R₁、R₂、C₁和C₂的值時，這些元件的容差可能會改變?yōu)V波器特征，例如截止頻率。在多通道解決方案中，元件容差還會影響通道之間的匹配。

設(shè)計(jì)步驟

1.設(shè)置濾波器的截止頻率：

開始設(shè)計(jì)Sallen-Key濾波器之前，必須考慮傳感器規(guī)格。對于此設(shè)計(jì)，加速度計(jì)的相關(guān)帶寬為3kHz，因此Sallen-Key濾波器設(shè)計(jì)的目標(biāo)截止頻率將設(shè)置為f_c = 3kHz。

注：依據(jù)低通Sallen-Key轉(zhuǎn)換函數(shù)計(jì)算截止頻率的公式為：

2.設(shè)置濾波器的Q：

有多種方法可以實(shí)現(xiàn)Sallen-Key濾波器并評估元件的值。在不實(shí)施增益的情況下，一種不限制設(shè)計(jì)的常見方法是使用比率設(shè)置這兩個電阻和兩個電容。也就是說，電阻R₁和R₂設(shè)置如下：

而電容C₁和C₂設(shè)置如下：

第一步是選擇m和n的值。從設(shè)計(jì)技巧2可知，品質(zhì)因數(shù)Q = √2?2 ≈ 0.707，但因?yàn)樵鲆鍷等于1，所以也可以簡化來自轉(zhuǎn)換函數(shù)的Q因數(shù)的表達(dá)式：

由于未知參數(shù)比已知參數(shù)多，因此通常固定一個比率。一個常見值是n = 10，此設(shè)計(jì)過程將使用該值。由于n = 10，現(xiàn)在便可求得m的值。

該二次方程的完整求解過程見附錄，m的兩個解是：

解m1和m2是可以獲得√2?2的品質(zhì)因數(shù)的兩個值。

3.元件值：

根據(jù)設(shè)計(jì)注意事項(xiàng)第4點(diǎn)，期望是在合理范圍內(nèi)使用大電阻和小電容?，F(xiàn)在，比率為已知值，下一步是選擇R₁的值以計(jì)算其他元件值。一個合理的高值是R₁ = 51kΩ，這是標(biāo)準(zhǔn)電阻值。此值也足夠高，使得低功耗運(yùn)算放大器LTC2066的輸出阻抗不至于過大。上一步求得了電阻比的兩個解。在Sallen-Key濾波器中，出于阻抗原因，最好將低值電阻放在R₁位置，因此將保留m₁解。

根據(jù)先前確定的R₁值和所選的比率，可以計(jì)算R₂。

最接近的電阻標(biāo)準(zhǔn)值為910kΩ。

一旦選定并計(jì)算出電阻值，借助截止頻率的簡化表達(dá)式可以計(jì)算C的值，然后計(jì)算兩個電容的值。

根據(jù)先前的計(jì)算，對于C₁，最接近的標(biāo)準(zhǔn)電容值為75pF。利用先前確定的比率可以計(jì)算C₂的值，

最接近的標(biāo)準(zhǔn)值為0.75nF。

4.阻帶限制頻率：

考慮設(shè)計(jì)注意事項(xiàng)第6點(diǎn)，在Sallen-Key低通濾波器的設(shè)計(jì)中，盡管它是低通濾波器，濾波器增益最終也會再次提高。這種行為來自放大器的輸出阻抗與設(shè)計(jì)的電阻值R₁和R₂的相互作用。這些電阻的值越高，阻帶限制出現(xiàn)得越遠(yuǎn)。

設(shè)計(jì)仿真

模擬濾波器向?qū)Чぞ吒鶕?jù)用戶的規(guī)格提供濾波器建議，并輔助設(shè)計(jì)濾波器（低通、高通和帶通）。它還能幫助檢索所選濾波器的預(yù)期性能，例如幅度、相位、噪聲、輸入阻抗、靜態(tài)功耗以及對電路的建議。它也會提供對濾波器的理論預(yù)期和實(shí)際性能的嚴(yán)謹(jǐn)分析。

使用此工具的第一步是參考目標(biāo)低通濾波器設(shè)計(jì)的規(guī)格。為了實(shí)現(xiàn)僅有一級的二階濾波器，阻帶規(guī)格需要滿足某些要求。根據(jù)阻帶的分貝(dB)值的不同，二階濾波器的頻率間隔是不同的。當(dāng)為不同的阻帶dB值選擇3kHz的截止頻率時，設(shè)置二階濾波器的頻率間隔如表2所示。

表2：行為結(jié)果間隔

根據(jù)設(shè)計(jì)步驟，通帶的特征是0dB增益和3kHz (-3dB)截止頻率。在25kHz時，阻帶規(guī)格將是-30dB。最后，您可以選擇濾波器響應(yīng)，也就是您想要使用哪種濾波器（巴特沃茲、切比雪夫、貝塞爾……）。正如設(shè)計(jì)注意事項(xiàng)第2點(diǎn)所述，為了盡可能接近上述理論，我們將選擇二階巴特沃茲濾波器。在第一個窗口中，可以看到剛剛輸入的規(guī)格中的級數(shù)，如圖7所示。

圖7：模擬濾波器向?qū)Чぞ叩囊?guī)格窗口

在規(guī)格窗口中可以檢索幅度視圖。這是濾波器在理想條件下的頻率輸出的樣子。在高頻時，濾波器的確是不斷滾降。

輸入規(guī)格后，左鍵單擊圖8中顯示的“components”（元件）按鈕。在此窗口中，單擊元器件選項(xiàng)卡中的“I want to choose”（我想要選擇）之后，不僅可以選擇電阻和電容的值，還可以選擇運(yùn)算放大器基準(zhǔn)電壓源。您還可以選擇將濾波器實(shí)現(xiàn)為Sallen-Key型還是多反饋型。為了盡可能接近設(shè)計(jì)步驟，這里選擇LTC2066。該工具還會提供電阻和電容的標(biāo)準(zhǔn)值，同樣，我們將選擇盡可能接近以上計(jì)算值的元件。

所有元件設(shè)置完畢后，便可監(jiān)視濾波器的行為，如圖8所示。與圖7相反，幅度視圖這次不是用理想運(yùn)算放大器來仿真，而是用真實(shí)運(yùn)算放大器來仿真，它在高頻時引入了阻帶頻率。行為結(jié)果的摘要如表3所示。

表3.設(shè)計(jì)目標(biāo)與仿真交流分析

根據(jù)設(shè)計(jì)步驟、設(shè)計(jì)目標(biāo)和模擬濾波器向?qū)У慕Y(jié)果，就元件值而言，輸出似乎比較相似。

您可以監(jiān)視其他結(jié)果，以便更好地了解ADI工具提供的Sallen-Key低通濾波器，例如功耗或有效值噪聲。

圖8.模擬濾波器向?qū)Чぞ撸弘娐方Y(jié)果

LTspice也是一個很好的仿真工具，它能檢查上述設(shè)計(jì)步驟中的計(jì)算。LTspice原理圖如下圖9所示。所做的仿真是電路的頻率響應(yīng)，結(jié)果可從圖10中檢索，輸入信號為1V (1kHz)。圖10中的光標(biāo)放在低通濾波器的-3dB點(diǎn)上。表4顯示了設(shè)計(jì)目標(biāo)與仿真結(jié)果的比較。

表4.設(shè)計(jì)目標(biāo)與仿真交流分析

雖然截止頻率非常接近期望值，但范圍的起源不同。首先，電阻值取標(biāo)準(zhǔn)值，但應(yīng)盡可能接近計(jì)算值。該設(shè)計(jì)顯示，在最高80kHz的阻帶時，至少為-20dB的衰減。如果這不足以達(dá)到設(shè)計(jì)要求，可以考慮使用更寬帶寬的運(yùn)算放大器，但功耗會提高。另外，可以考慮在Sallen-Key濾波器之后使用一個簡單的R/C低通濾波器，以在較高頻率下獲得更多衰減。

圖9：LTspice原理圖

圖10.交流仿真結(jié)果

設(shè)計(jì)器件

表5.運(yùn)算放大器

參考資料

Ltspice

LTspice?是一款高性能SPICE III仿真軟件、原理圖采集工具和波形查看器，集成增強(qiáng)功能和模型，簡化了開關(guān)穩(wěn)壓器、線性穩(wěn)壓器和信號鏈電路的仿真。

模擬濾波器向?qū)?/p>

鉆石圖工具是一款Web應(yīng)用程序， 可基于Analog Devices 的元器件生成濾波器建議，助您設(shè)計(jì)出具備所需特性的低通、高通或帶通濾波器，且準(zhǔn)備時間更短。

附錄

附錄1：

如果需要增益K，所使用的公式將不相同。品質(zhì)因數(shù)的公式將是：

在這種情況下，品質(zhì)因數(shù)和截止頻率之間存在關(guān)聯(lián)。為了滿足設(shè)計(jì)規(guī)格，同時將元件值設(shè)置為先前的比率，設(shè)計(jì)過程首先應(yīng)確定增益K，以及電阻和電容的比率m和n以設(shè)置Q。然后應(yīng)設(shè)置C值，最后根據(jù)期望的截止頻率f_c計(jì)算R值：

增益K將等于：

增益可能會改變運(yùn)算放大器的帶寬，進(jìn)而影響通帶和阻帶的行為。放大器的輸出阻抗須除以環(huán)路增益，因此輸出阻抗將隨頻率的提高而上升。較小的R₃和R₄電阻也會影響濾波器的響應(yīng)，讓阻帶頻率向高頻移動。

圖11.具有增益的Sallen-Key低通濾波器

附錄2：

要求解的二階方程如下所示：

此方程的Δ為：

使用n = 10且Q =

 ：

由于Δ大于零，因此有兩個解：

致謝

主要顧問：

David Plourde，科學(xué)儀器(SCI)部IC設(shè)計(jì)工程師

Tim Green，科學(xué)儀器(SCI)部高級模擬應(yīng)用工程師

關(guān)于ADI公司

Analog Devices, Inc. (NASDAQ: ADI)是全球領(lǐng)先的半導(dǎo)體公司，致力于在現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)字世界之間架起橋梁，以實(shí)現(xiàn)智能邊緣領(lǐng)域的突破性創(chuàng)新。ADI提供結(jié)合模擬、數(shù)字和軟件技術(shù)的解決方案，推動數(shù)字化工廠、汽車和數(shù)字醫(yī)療等領(lǐng)域的持續(xù)發(fā)展，應(yīng)對氣候變化挑戰(zhàn)，并建立人與世界萬物的可靠互聯(lián)。ADI公司2022財(cái)年收入超過120億美元，全球員工2.4萬余人。攜手全球12.5萬家客戶，ADI助力創(chuàng)新者不斷超越一切可能。更多信息，請?jiān)L問www.analog.com/cn。