預(yù)測(cè)控制中的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化策略

1 引言
預(yù)測(cè)控制算法除了可以處理約束外，吸引工程人員的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)在于：作為一個(gè)多變量控制算法，預(yù)測(cè)控制中的系統(tǒng)輸入并不是僅僅和某一個(gè)特定的輸出關(guān)聯(lián)，所有的被控變量在一個(gè)體系之中。這樣就可以在系統(tǒng)由于輸入飽和、執(zhí)行機(jī)構(gòu)失靈等原因造成自由度丟失后，仍可以尋找最佳控制效果，保證裝置的平穩(wěn)運(yùn)行；另外如果存在多余的自由度，即在滿足控制要求的同時(shí)操縱變量可以在一定的范圍變化，這樣預(yù)測(cè)控制可以在更加經(jīng)濟(jì)的狀態(tài)運(yùn)行。但是傳統(tǒng)的控制策略不能夠?qū)崿F(xiàn)上面的要求。
為了發(fā)揮預(yù)測(cè)控制的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)上面要求，需要引入新的策略。優(yōu)化+控制策略是其中比較成功的策略之一，在優(yōu)化層完成控制層的設(shè)定值計(jì)算，這一計(jì)算包括：按優(yōu)先級(jí)首先確保重點(diǎn)控制目標(biāo)，然后是一般控制目標(biāo)，最后如果仍存在多余自由度，則在保證前面控制目標(biāo)的前提下進(jìn)行經(jīng)濟(jì)優(yōu)化。
本文在對(duì)以前所做工作進(jìn)行分析后，提出了基于目標(biāo)規(guī)劃理論的優(yōu)化策略，這種優(yōu)化策略和傳統(tǒng)的算法相結(jié)合可以高效、簡(jiǎn)潔地達(dá)到上面的目的。
2 以前的工作
對(duì)R維輸入、S維輸出的系統(tǒng)，預(yù)測(cè)控制算法總是試圖求解未來M個(gè)時(shí)刻(控制時(shí)域)的控制，使模型預(yù)測(cè)輸出在未來P個(gè)時(shí)刻(優(yōu)化時(shí)域)內(nèi)達(dá)到以上基本目標(biāo)。最初的動(dòng)態(tài)矩陣控制(DMC)可以描述如下［１］

(還包括一些其它變量，如被控變量、操縱變量的約束條件) (2)
其中，W(k)為參考軌跡，(S×P)維向量；YPM(k)為ΔUM（k)作用下模型預(yù)測(cè)輸出，(S×P)維向量；YP0(k)輸出預(yù)測(cè)初值，(S×P)維向量；A為動(dòng)態(tài)矩陣，由階躍響應(yīng)系數(shù)排成的(S×P)×(R×M)維矩陣；Q=block-diag(Q1，…，Qs)，Qi=diag［qi(1),…,qi(p)］,i=1,…,S。
預(yù)測(cè)控制器的操縱變量多于被控變量時(shí)，操縱變量可能存在多余的自由度。充分利用多余自由度，預(yù)測(cè)控制可以在更經(jīng)濟(jì)的狀態(tài)下運(yùn)行。為了利用多余自由度，需要在控制目標(biāo)中引入和經(jīng)濟(jì)效益相關(guān)的變量，這些變量稱為經(jīng)濟(jì)變量，可以歸結(jié)為控制量的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)，如讓控制量盡量接近其理想穩(wěn)態(tài)值(Ideal Rest Value-IRV)。
基于這樣的思路將反映穩(wěn)態(tài)優(yōu)化要求的項(xiàng)加入到性能指標(biāo)(1)中，就可以得到一種稱為綜合性能指標(biāo)法的預(yù)測(cè)控制改進(jìn)方法：


但綜合性能指標(biāo)法也存在缺點(diǎn)，具體如下［２］：（1)存在大的階躍擾動(dòng)時(shí)，由于目標(biāo)函數(shù)可能增加太快造成控制作用被抑制，使控制作用遲緩，輸出響應(yīng)偏差大和回復(fù)時(shí)間長(zhǎng)；（2)采用綜合指標(biāo)法的控制系統(tǒng)一定是瘦系統(tǒng)，當(dāng)存在模型失配和擾動(dòng)時(shí)，設(shè)定值yset。和uset不可能同時(shí)實(shí)現(xiàn)。由于在實(shí)際中，模型失配和擾動(dòng)的存在不可避免，這樣將造成穩(wěn)態(tài)余差。

其中等式約束中的YP′M′(k)是從未來P個(gè)時(shí)刻預(yù)測(cè)值中選出的。
由于采用了分層優(yōu)化的合理結(jié)構(gòu)，多目標(biāo)優(yōu)化方法克服了綜合目標(biāo)法的一些不足，但是這種方法對(duì)自由度減少和如何根據(jù)優(yōu)先級(jí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)主要控制目標(biāo)的優(yōu)先控制沒有涉及。這主要是由于改進(jìn)算法把重點(diǎn)放在了如何利用“胖系統(tǒng)”的多余自由度上，沒有過多考慮“瘦系統(tǒng)”自由度不足時(shí)的情況。
Swartz［４］針對(duì)“瘦系統(tǒng)”自由度不足的情況，提出了分層監(jiān)督控制策略，在監(jiān)督控制中根據(jù)優(yōu)先級(jí)，實(shí)現(xiàn)被控輸出設(shè)定值的優(yōu)化計(jì)算。設(shè)定值通過根據(jù)優(yōu)先級(jí)定義的優(yōu)化子問題序列取得，其中每一個(gè)子問題都是一個(gè)二次規(guī)劃，其目標(biāo)函數(shù)為盡可能使輸出設(shè)定值接近期望值而且在上一級(jí)優(yōu)化子問題的約束，實(shí)現(xiàn)在保證上一級(jí)優(yōu)化控制目標(biāo)的前提下，進(jìn)行優(yōu)先級(jí)低的優(yōu)化問題的求解。這種方法的優(yōu)點(diǎn)：確?？刂菩Ч?，采用分層的優(yōu)化+控制結(jié)構(gòu)。這種方法的缺點(diǎn)主要在于多級(jí)的二次規(guī)劃求解計(jì)算量太大，另外穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)不能直接放入優(yōu)化問題中，這樣在存在多余自由度的情況下，經(jīng)濟(jì)目標(biāo)的優(yōu)化還需要其它工作。
Swartz的監(jiān)督控制策略中計(jì)算的是穩(wěn)態(tài)時(shí)的輸出設(shè)定值，而經(jīng)濟(jì)指標(biāo)也是穩(wěn)態(tài)優(yōu)化，所以我們結(jié)合上面所做的工作，提出了一種新的優(yōu)化+控制的兩級(jí)預(yù)測(cè)控制算法，同時(shí)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)優(yōu)化和動(dòng)態(tài)控制。在優(yōu)化部分使用簡(jiǎn)單的目標(biāo)規(guī)劃方法，提出了包括被控輸出設(shè)定值計(jì)算和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)優(yōu)化的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化測(cè)量，在動(dòng)態(tài)控制部分吸取綜合指標(biāo)法的優(yōu)點(diǎn)，增加了對(duì)穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟(jì)目標(biāo)的控制而且克服了綜合指標(biāo)法的缺點(diǎn)。這種采用線性規(guī)劃進(jìn)行局部?jī)?yōu)化、預(yù)測(cè)控制進(jìn)行動(dòng)態(tài)控制的算法，可以實(shí)現(xiàn)所謂胖瘦系統(tǒng)的自由轉(zhuǎn)換，在優(yōu)先保證基本控制目標(biāo)的前提下，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)目標(biāo)優(yōu)化。
總的來看，以前的工作都有可取之處，但是考慮的問題具有局限性，不是僅僅考慮了多自由度下的穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)優(yōu)化，就是僅僅考慮了自由度不足時(shí)基本控制目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)控制。相比較而言，本文提出的改進(jìn)的優(yōu)化+控制策略可以實(shí)現(xiàn)胖瘦系統(tǒng)的自由轉(zhuǎn)變，而且在按優(yōu)先級(jí)保證控制目標(biāo)的前提下，追求經(jīng)濟(jì)目標(biāo)的最大化。
3 基于目標(biāo)規(guī)劃的優(yōu)化策略
被控對(duì)象的線性穩(wěn)態(tài)模型描述如下：
Ｙ＝ＧＵ＋δ (4)
中G為穩(wěn)態(tài)增益矩陣，δ是階躍擾動(dòng)對(duì)輸出影響的估計(jì)。
δ提供了一種克服不可測(cè)擾動(dòng)和模型失配影響的反饋機(jī)制，擾動(dòng)估計(jì)可以采用Cutler提出的方法，對(duì)于SISO系統(tǒng)：

其中y(i)表示當(dāng)前測(cè)量值，u和Δu分別為括號(hào)內(nèi)采樣時(shí)刻的輸入和輸入變化，ai是單位階躍響應(yīng)系數(shù)，N是系統(tǒng)的模型時(shí)域。假設(shè)擾動(dòng)為階躍擾動(dòng)。
對(duì)于式(1)描述的系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)優(yōu)化的任務(wù)是根據(jù)約束和工程人員或者上一層優(yōu)化給出的控制要求和期望的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，計(jì)算預(yù)測(cè)控制中的設(shè)定值。
目標(biāo)規(guī)劃［５］的目標(biāo)函數(shù)是按各目標(biāo)約束的正、負(fù)偏離變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先級(jí)系數(shù)而構(gòu)造的，當(dāng)每一個(gè)目標(biāo)值確定以后，優(yōu)化的要求是盡可能靠近目標(biāo)值。優(yōu)先級(jí)需要根據(jù)實(shí)際情況給出，設(shè)共有k個(gè)優(yōu)先級(jí)，優(yōu)先級(jí)系數(shù)Pi(i=1,2，…，k)滿足P1>>P2>>…，>>Pk。一般基本控制目標(biāo)比經(jīng)濟(jì)目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)高主要控制目標(biāo)比次要控制目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)高。在實(shí)際應(yīng)用中優(yōu)先級(jí)系數(shù)只要保證優(yōu)先級(jí)可以得到體現(xiàn)即可。
如果是設(shè)定值優(yōu)化那么目標(biāo)函數(shù)是minz=f(d+,d-)，如果是不大于某一個(gè)區(qū)間上限則目標(biāo)函數(shù)為minz=f(d＋)，如果是不小于某一個(gè)區(qū)間下限則目標(biāo)函數(shù)為minz=f(d－)，如果是區(qū)間則控制目標(biāo)為上面兩種情況的綜合。其中正偏差d＋表示決策值超過目標(biāo)值的部分，負(fù)偏差d－表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分，相關(guān)的d+、d-必定至少一個(gè)等于０。下面結(jié)合一個(gè)實(shí)例來說明基于目標(biāo)規(guī)劃的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化策略。
例1［６］過程是由三個(gè)產(chǎn)品抽出和三個(gè)回流組成的重油分餾塔，塔底回流溫度是操作約束。操縱變量是塔頂和側(cè)線的抽出以及塔底的回流量。塔頂回流用來和其它裝置換熱，可以認(rèn)為是可測(cè)擾動(dòng)。4個(gè)輸出包括u3的理想穩(wěn)態(tài)值，輸出輸入變量如表1。
使用穩(wěn)態(tài)增益并設(shè)那么穩(wěn)態(tài)模型如式(3)描述，其中

定義穩(wěn)態(tài)優(yōu)化目標(biāo)以及優(yōu)先級(jí)如表2

優(yōu)化目標(biāo)中-0．5＜y3屬于區(qū)間優(yōu)化，y1＝0，y2=0屬于設(shè)定值優(yōu)化，y4=0．5屬于經(jīng)濟(jì)量的ESV。
硬約束為：－0．5≤y1≤0．5；－0．5≤ui≤0．5，i=1,2