控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

信號(hào)流圖 信號(hào)流圖，是一種表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖。當(dāng)將信號(hào)流圖法應(yīng)用于控制系統(tǒng)時(shí)，首先必須將線性微分方程變換為以s為變量的代數(shù)方程。

信號(hào)流圖是由網(wǎng)絡(luò)組成的，網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)用定向支線段連接。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)系統(tǒng)變量，而每?jī)晒?jié)點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)支路相當(dāng)于信號(hào)乘法器。應(yīng)當(dāng)指出，信號(hào)只能單向流通。信號(hào)流的方向由支路上的箭頭表示，而乘法因子則標(biāo)在支路線上。信號(hào)流圖描繪了信號(hào)從系統(tǒng)中的一點(diǎn)流向另一點(diǎn)的情況，并且表明了各信號(hào)之間的關(guān)系。

正如所料，信號(hào)流圖基本上包含了方塊圖所包含的信息。用信號(hào)流圖表示控制系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，可以應(yīng)用所謂梅遜增益公式。根據(jù)該公式，不必對(duì)信號(hào)流圖進(jìn)行簡(jiǎn)化，就可以得到系統(tǒng)中各變量之間的關(guān)系。

定義 在討論信號(hào)流圖之前，首先必須定義如下一些術(shù)語：

節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)用來表示變量或信號(hào)的點(diǎn)。
傳輸，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的增益叫傳輸。
支路，支路是連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段。支路的增益為傳輸。
輸出節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)，只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，叫輸出節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)。它對(duì)應(yīng)于自變量。
輸入節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn)，只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，叫輸入節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn)。它對(duì)應(yīng)于因變量。
混合節(jié)點(diǎn)，既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，叫混合節(jié)點(diǎn)。
通道，沿支路箭頭方向而穿過各相連支路的途徑，叫通道。如果通道與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，就叫做開通道。如果通道的終點(diǎn)就是通道的起點(diǎn)，并且與任何其它節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，就叫做閉通道。如果通道通過某一節(jié)點(diǎn)多于一次，但是終點(diǎn)與起點(diǎn)在不同的節(jié)點(diǎn)上，那么這個(gè)通道既不是開通道，又不是閉通道。
回路，回路就是閉通道。
回路增益，回路中各支路傳輸?shù)某朔e，叫回路增益。
不接觸回路，如果一些回路沒有任何公共節(jié)點(diǎn)，就把它們叫做不接觸回路。
前向通道，如果從輸出節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）到輸入節(jié)點(diǎn)（阱點(diǎn)）的通道上，通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，則該通道叫做前向通道。
前向通道增益，前向通道中，各支路傳輸?shù)某朔e，叫前向通道增益。

圖2-9表示了節(jié)點(diǎn)、支路和支路傳輸。

信號(hào)流圖的性質(zhì) 下面介紹一些信號(hào)流圖的重要性質(zhì)。

1． 支路表示了一個(gè)信號(hào)對(duì)另一個(gè)信號(hào)的函數(shù)關(guān)系。信號(hào)只能沿著支路上的箭頭方向通過。
2． 節(jié)點(diǎn)可以把所有輸入支路的信號(hào)疊加，并把總和信號(hào)傳送到所有支路。
3． 具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點(diǎn)，通過增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹罚梢园阉兂奢敵龉?jié)點(diǎn)來處理。（見圖2-9,注意，具有單位傳輸?shù)闹窂膞3指向另一個(gè)節(jié)點(diǎn)，后者也以x3表示。）當(dāng)然，應(yīng)當(dāng)指出，用這種方法不能將混合節(jié)點(diǎn)改變?yōu)樵袋c(diǎn)。
4． 對(duì)于給定的系統(tǒng)，信號(hào)流圖不是唯一的。由于同一系統(tǒng)的方程可以寫成不同的形式，所以對(duì)于給定的系統(tǒng)，可以畫出許多種不同的信號(hào)流圖。

信號(hào)流圖代數(shù) 根據(jù)前面的定義，可以畫出線性系統(tǒng)的信號(hào)流圖。這樣做時(shí)，通常將輸出節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）放在左面，而輸入節(jié)點(diǎn)（阱點(diǎn)）放在右面。方程式的自變量和因變量，分別變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）和輸入節(jié)點(diǎn)（阱點(diǎn)）。支路的傳輸可由方程的系數(shù)得到。

為了確定輸入-輸出關(guān)系，可以采用梅遜公式。這個(gè)公式后面將要介紹。也可以將信號(hào)流圖簡(jiǎn)化成只包含輸出和輸入節(jié)點(diǎn)的形式。為了進(jìn)行這種簡(jiǎn)化，需采用下列規(guī)則：

1． 如圖2-10(a)所示，只有一個(gè)輸出支路的節(jié)點(diǎn)的值為x2=ax1。
2． 串聯(lián)支路的總傳輸，等于所有支路傳輸?shù)某朔e。因此，通過傳輸相乘，可以將串聯(lián)支路合并為單一支路，如圖2-10(b)所示。
3． 通過傳輸相加，可以將并聯(lián)支路合并為單一支路，如圖2-10(c)所示。
4． 混合節(jié)點(diǎn)可以消掉，如圖2-10(d)所示。
5． 回路可以消掉，如圖2-10(e)所示。

梅遜公式 用梅遜公式可以直接求信號(hào)流圖的傳輸。表示為

（2-18）

式中,Pk=第k條前向通道的通道增益或傳輸；

Δ=流圖的特征式
=1-（所有不同回路的增益之和）+（每?jī)蓚€(gè)互不接觸回路增益乘積之和）
-（每三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和）+…

Δk=在除去與第k條前向通道相接觸的回路的流圖中，第k條前向通道特征式的余因子。

總之，熟悉了梅遜公式之后，根據(jù)它去求解系統(tǒng)的傳輸，遠(yuǎn)比用方塊圖變換方法簡(jiǎn)便有效，對(duì)于復(fù)雜的多環(huán)系統(tǒng)和多輸入、多輸出系統(tǒng)尤其明顯。因此，信號(hào)流圖得到了廣泛的實(shí)際應(yīng)用，并常用于控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。

例2-4 將圖2-11所示的系統(tǒng)方框圖化為信號(hào)流圖之。求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

在這個(gè)系統(tǒng)中，輸入量R(s)和輸出量C(s)之間，只有一條前向通道。前向通道的增益為
P1=G1G2G3
從圖2-12可以看出，這里有三個(gè)單獨(dú)的回路。這些回路的增益為

L1=G1G2H1
L2=-G2G3H2
L3=-G1G2G3

應(yīng)當(dāng)指出，因?yàn)樗腥齻€(gè)回路具有一條公共支路，所以這里沒有不接觸的回路。因此，特征式Δ為
Δ=1-（L1+L2+L3）
=1-G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3
沿聯(lián)接輸入節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道，特征式的作因子Δ1，可以通過除去與該通道接觸的回路的方法而得到。因?yàn)橥ǖ繮1與三個(gè)回路都接觸，所以得到
Δ1=1
因此，輸入量R(s)和輸出量C(s)之間的總增益，或閉環(huán)傳遞函數(shù)為

這與通過方塊圖簡(jiǎn)化所得到的閉環(huán)傳遞函數(shù)完全相同。這樣，利用梅遜公式，不必對(duì)流圖進(jìn)行簡(jiǎn)化，就能夠求得總增益C(s)/R(s)。

例2-5 根據(jù)梅遜公式求圖2-13的信號(hào)流圖的總傳輸。

解 此系統(tǒng)有六個(gè)回環(huán)，即ab、cd、ef、ij和kfdb，因此

兩個(gè)互不接觸的回環(huán)有七種組合，即abef、abgh、abij、cdgh、cdij、efij及kfdbij，所以

三個(gè)互不接觸的回環(huán)只有ab、ef和ij，故

由此可求特征式

從源點(diǎn)到阱點(diǎn)有兩條前向通道。一條為acegi，它與所有的回環(huán)均有接觸，因此
P1=acegi
Δ1=1

另一條前向通道為kgi它不與回環(huán)cd接觸，所以
P2=kgi
Δ2=1-cd

將以上結(jié)果代入式（2-18），可得總傳輸

例2-6 已知RC電路如圖2-14所示，請(qǐng)畫出其結(jié)構(gòu)圖。

解：根據(jù)電路的特性，由圖可知

中間回路：

(2-21）

由（2-19）式知：

(2-22）

由（2-21）式知：

(2-23）

由（2-20）式知：

(2-24）

則由（2-22）、（2-23）、（2-24）式求出結(jié)構(gòu)圖如下：

在這一類系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的求解過程中，需要注意的是，其解不是唯一的。

2.7.1 狀態(tài)、狀態(tài)變量及狀態(tài)空間方程

這里介紹有關(guān)狀態(tài)、狀態(tài)變量及狀態(tài)空間方程等的基本概念。

1． 狀態(tài) 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是系統(tǒng)的最小一組變量（稱為狀態(tài)變量），只要知道了在t=t0時(shí)的一組變量和t3t0時(shí)的輸入量，就能夠完全確定系統(tǒng)在任何t3t0時(shí)刻的行為。
2． 狀態(tài)變量 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變量是確定動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量。如果至少需要n個(gè)變量x1，x2，××× ，xn才能完全描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的行為（即一旦給出t3t0時(shí)的輸入量，并且給定t=t0時(shí)的初始狀態(tài)，就可以完全確定系統(tǒng)的未來狀態(tài)），則這個(gè)變量就是一組狀態(tài)變量。
3． 狀態(tài)向量 如果完全描述一個(gè)給定系統(tǒng)的行為需要n個(gè)狀態(tài)變量，那么這n個(gè)狀態(tài)變量可以看作是向量X的n個(gè)分量，該向量就稱為狀態(tài)向量。因此，狀態(tài)向量也是一種向量，一旦t=t0時(shí)的狀態(tài)給定，并且給出t3t0時(shí)的輸入量U(t)，則任意時(shí)間t3t0時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)X(t)便可以唯一地確定。
4． 狀態(tài)空間 由x1軸，x2軸，××× ，xn軸所組成的n維空間稱為狀態(tài)空間。任何狀態(tài)都可以用狀態(tài)空間中的一點(diǎn)來表示。
5． 狀態(tài)方程 用狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。

2-A1 狀態(tài)空間模型的概念說明

已知系統(tǒng)

其狀態(tài)方程可以用下列方程描述：

(2-25)

由上式可知，如果已知uc(t)和i(t)的初始值，以及在t3t0時(shí)的外加輸入信號(hào)，就能夠完全唯一地確定在t3t0時(shí)的任何時(shí)間的系統(tǒng)狀態(tài)。狀態(tài)方程也可以寫成矩陣方程的形式。例如：

(2-26)

通常，用x表示狀態(tài)矢量，用x1，x2，... 表示其分量。對(duì)于上式，如令

式（2-26）又可寫為

(2-27)

此處其輸出方程為

(2-28)

此處

需要指出的是，從理論上講，描述系統(tǒng)狀態(tài)的狀態(tài)變量的選擇不是唯一的，可以有無窮多個(gè)解。

2.7.2 線性定?？刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)方程描述

本教材研究對(duì)象主要為線性定常系統(tǒng)，這里簡(jiǎn)單介紹一下線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

1． 單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程

(2-29)

式中y為輸出量，x為輸入量，a1、a2、...、an和bn為常系數(shù)。

當(dāng)令

此時(shí)，可將式（2-29）改寫為n個(gè)一階微分方程，即

或用矩陣方程表示：

上式可簡(jiǎn)寫為

式中

系統(tǒng)的輸出方程為

2． 多變量線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程

推廣到多變量線性定常系統(tǒng)的一般情況，此時(shí)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)可表示為：

式中 i=1，2，...，n；j=1，2，...，m?？捎镁仃嚪匠瘫硎緸椋?/P>

此處

2.7.3線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖

系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程也可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達(dá)出來，它形象地說明了系統(tǒng)輸入、輸出和系統(tǒng)狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。在采用模擬計(jì)算機(jī)對(duì)系統(tǒng)仿真時(shí)，它更是一個(gè)得力的工具。圖2- 16所示為n維線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

同樣，也可以畫出n維線性定常系統(tǒng)的信號(hào)流圖（見圖2-17所示）。

圖2-17 n維線性系統(tǒng)的信號(hào)流圖

下面仔細(xì)分析一下單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間之間的關(guān)系：
設(shè)所要研究系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

該系統(tǒng)在狀態(tài)空間中可以用下列方程表示：

(2-30)

(2-31)

式中X為狀態(tài)向量，u為輸入量，y為輸出量。則當(dāng)滿足零初始條件時(shí)，式（2-30）及（2-31）的拉普拉斯變換為：

用(sI-A)-1左乘式（2-32）等號(hào)兩邊，得到：
X(s)=(sI-A)-1BU(s) (2-34)
把方程（2-34）代入（2-33），得到

(2-35)

由方程（3-35）可以看出

這就是以A、B、C和D的形式表示的傳遞函數(shù)。應(yīng)該指出，傳遞函數(shù)矩陣具有不變性，亦即，對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行線性變換后，其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣應(yīng)該不變，從而保證了所描述系統(tǒng)的輸入-輸出特性不變。

2.8.1連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB表示

1． 傳遞函數(shù)模型

當(dāng)：

則在MATLAB中，直接用分子/分母的系數(shù)表示，即
num=[b0，b1，…，bm]；
den = [a0，a1，…，an]；

例2-7 用MATLAB表示傳遞函數(shù)為 的系統(tǒng)。

解：在MATLAB環(huán)境下輸入
ng=[1 1]; dg=[1 3 2];
printsys(ng,dg) %此處printsys命令是傳遞函數(shù)顯示命令。

則執(zhí)行后得到如下結(jié)果：

2． 零極點(diǎn)增益模型

當(dāng)：

時(shí)

則在MATLAB中，用[z，p，k]矢量組表示，即
z=[z0，z1，…，zm]；
p=[p0，p1，…，pn]；
k=[k]；

例2-8 用MATLAB表示傳遞函數(shù)為 的系統(tǒng)。

解：在MATLAB環(huán)境下輸入
z=-1; p=[0 -1 -2]; k=1.5;
[num,den]=zp2tf[z,p,k];
printsys(num,den) %此處printsys命令是傳遞函數(shù)顯示命令。
則執(zhí)行后得到如下結(jié)果：

3． 狀態(tài)空間模型

當(dāng)：

時(shí)

則在MATLAB中，該控制系統(tǒng)可用（a，b，c，d）矩陣組表示。

4． 傳遞函數(shù)的部分分式展開

當(dāng)：

時(shí)

在MATLAB中直接用分子/分母的系數(shù)表示時(shí)有
num=[b0，b1，…，bm]；
den = [a0，a1，…，an]；
則命令
[r,p,k] = residue(num,den)
將求出兩個(gè)多項(xiàng)式Y(jié)(s)和X(s)之比的部分分式展開的留數(shù)、極點(diǎn)和直接項(xiàng)。Y(s)/X(s)的部分分式展開由下式給出：

例2-A2 考慮下列傳遞函數(shù)：

命令 [r,p,k] = residue(num,den)
將給出下列結(jié)果：

[r,p,k]=residue(num,den)
r=
-6.000
-4.000
3.000
p=
-3.000
-2.000
-1.000
k=
2

留數(shù)為列向量r，極點(diǎn)位置為列向量p，直接項(xiàng)是行向量k。以下是Y(s)/X(s)的部分分式展開的MATLAB表達(dá)形式：

命令
[num,den] = residue(r,p,k)

執(zhí)行后得到如下結(jié)果：

[num,den]=residue(r,p,k)
num=
2.0000 5.0000 3.0000 6.0000
den=
1.0000 6.0000 11.0000 6.0000

2.8.2離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB表示

1． 傳遞函數(shù)模型：

2． 零極點(diǎn)增益模型：

3． 狀態(tài)空間模型：

2.8.3模型之間的轉(zhuǎn)換

同一個(gè)控制系統(tǒng)都可用上述三種不同的模型表示，為分析系統(tǒng)的特性，有必要在三種模型之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。MATLAB的信號(hào)處理和控制系統(tǒng)工具箱中，都提供了模型變換的函：ss2tf，ss2zp，tf2ss，tf2zp，zp2ss，zp2tf，它們的關(guān)系可用圖2-17所示的結(jié)構(gòu)來表示。

圖2-18 三種模型之間的轉(zhuǎn)換

說明：

ss2tf命令：將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。
格式為：[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
式中，iu為輸入的序號(hào)。轉(zhuǎn)換公式為

ss2zp命令：將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)增益模型。
格式為：[Z, P, K]=ss2zp(A, B, C, D, iu)
式中，iu為輸入的序號(hào)。

tf2ss命令：將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型。
格式為：[A, B, C, D]=tf2ss(num, den)

tf2zp命令：將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)增益模型。
格式為：[Z, P, K]=tf2zp(num, den)

zp2ss命令：將零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型。
格式為：[A, B, C, D]=zp2ss(Z, P, K)

zp2tf命令：將零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。
格式為：[num, den]=zp2tf(Z, P, K)

2.8.4控制系統(tǒng)建模

對(duì)簡(jiǎn)單系統(tǒng)的建模可直接采用三種基本模型：傳遞函數(shù)、零極點(diǎn)增益、狀態(tài)空間模型。但實(shí)際中經(jīng)常遇到幾個(gè)簡(jiǎn)單系統(tǒng)組合成一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)。常見形式有：并聯(lián)、串聯(lián)、閉環(huán)及反饋等連接。

1． 并聯(lián)：將兩個(gè)系統(tǒng)按并聯(lián)方式連接，在MATLAB中可用parallel函數(shù)實(shí)現(xiàn)。命令格式為：[nump, denp] = parallel(num1, den1, num2, den2) 其對(duì)應(yīng)的結(jié)果為：Gp(s)=G1(s)+G2(s)

2． 串聯(lián)：將兩個(gè)系統(tǒng)按串聯(lián)方式連接，在MATLAB中可用series函數(shù)實(shí)現(xiàn)。命令格式為：[nums, dens] = series(num1, den1, num2, den2) 其對(duì)應(yīng)的結(jié)果為：Gs(s)=G1(s)+G2(s)

3． 閉環(huán)：將系統(tǒng)通過正負(fù)反饋連接成閉環(huán)系統(tǒng)，在MATLAB中可用feedback函數(shù)實(shí)現(xiàn)。命令格式為：[numf, denf] = feedback(num1, den1, num2, den2, sign) sign為可選參數(shù)，sign=-1為負(fù)反饋，而sign=1對(duì)應(yīng)為正反饋。缺省值為負(fù)反饋。其對(duì)應(yīng)的結(jié)果為：

4． 單位反饋：將兩個(gè)系統(tǒng)按反饋方式連接成閉環(huán)系統(tǒng)（對(duì)應(yīng)于單位反饋系統(tǒng)），在MATLAB中可用cloop函數(shù)實(shí)現(xiàn)。命令格式為：[numc, denc] = cloop(num, den, sign) sign為可選參數(shù)，sign=-1為負(fù)反饋，而sign=1對(duì)應(yīng)為正反饋。缺省值為負(fù)反饋。其對(duì)應(yīng)的結(jié)果為：