控制系統(tǒng)的時域分析法--控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是因輸入信號不同而不同的。因此就需要規(guī)定一些典型輸入信號。通過評價系統(tǒng)在這些典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差來衡量和比較系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。在控制工程中通常采用的典型輸入信號有以下幾種：

1．單位階躍函數(shù)：

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s。

2．單位斜坡函數(shù)

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s2。

3．單位加速度函數(shù)：

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s3。

4．單位脈沖函數(shù)

其拉普拉斯變換為R(s)=1。

5．正弦函數(shù)：

其中最常用的典型信號為單位階躍、單位斜坡、單位加速度三種輸入信號。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下其實際輸出值（在實際工作中常用系統(tǒng)輸出的測量值代替）與給定值之差。對穩(wěn)定的單輸入單輸出系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差是時域中衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應的性能指標，它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，因此穩(wěn)態(tài)誤差分析是控制系統(tǒng)分析的一項基本內(nèi)容。

設有如圖3-1所示的系統(tǒng)。它的閉環(huán)傳函為

誤差信號e(t)和輸入信號r(t)之間的傳遞函數(shù)是

其中誤差e(t)是輸入信號和反饋信號之差。

圖3-1控制系統(tǒng)

終值定理為求穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差提供了一個簡便的方法。因為E(s)是

則穩(wěn)態(tài)誤差是

3.2.3 靜態(tài)誤差系數(shù)

當系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍、單位斜坡和單位加速度三種典型信號之一時，上式分別化為：

單輸入單輸出線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般表示為：

單位階躍函數(shù)：

(3-2)

單位斜坡函數(shù)：

(3-3)

單位加速度函數(shù)：

(3-4)

現(xiàn)定義誤差系數(shù)如下：

靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp:

(3-5)

靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv：

(3-6)

靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka：

(3-7)

將（3-5），（3-6）及（3-7）分別代入（3-2），（3-3）及（3-4）得

單位階躍函數(shù)：

(3-8)

單位斜坡函數(shù)：

(3-9)

單位加速度函數(shù)：

(3-10)

下面進一步考察誤差系數(shù)與系統(tǒng)的結構和參數(shù)的關系。

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般寫成

(3-11)

的形式，式中K是系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。分母中的因子sυ表明開環(huán)傳遞函數(shù)中含有υ個積分單元。將系統(tǒng)按照υ=0，1，2分別將其分為0型，1型，2型。在表3-1中列出了按照式（3-2），（3-3）及（3-4）求得的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。

	0型系統(tǒng)	1型系統(tǒng)	2型系統(tǒng)
（階躍輸入）r(t)=1(t)		0	0
（斜坡輸入）r(t)=t/td>	∞		0
（加速度輸入）r(t)=t2/2	∞	∞

誤差系數(shù)Kp、Kv和Ka描述了系統(tǒng)減少或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，系數(shù)值愈大，則給定穩(wěn)態(tài)誤差終值愈小。一般來說，在保持瞬態(tài)響應在一個允許的范圍內(nèi)時，希望增加誤差系數(shù)，如果在靜態(tài)速度誤差系數(shù)和加速