繪制根軌跡的數學依據及其性質

⒈系統(tǒng)方塊圖：如圖4-3 所示。

2.:

注：
(1)．………開環(huán)放大系數,增益,傳遞系數。

……時間常數。
………開環(huán)零極點形式的傳遞系數。
……開環(huán)零點、極點的負值。

(2).與與關系：

4.2.2 特征方程D(s)=0 的幾種表達形式：

⒈.閉環(huán)傳遞函數的幾種形式：

⑴.

⑵.

⒉" " 的幾種形式：

⑴.

⑵.

⑶.

⑷.

⑸.(k=0,1,2,3,……)

⑹.

4.2.3繪制根跡的數學依據：

⒈. 幅角條件,幅值條件--幅相條件:

⑴.所謂幅角條件(相角條件):

①.(k=0,1,2,3,……) （4-1）
②. 幅角條件是繪制根跡的根本依據
--根平面上凡是滿足幅角條件的點的全體就是根跡。
③.可利用幅角條件畫根跡。

⑵.所謂幅值條件:

①.(4-2)
②.根跡上凡是滿足幅值條件的點,就是相應K值的閉環(huán)極點sb,即的根。
③.可利用幅值條件確定相應于sb的K。

⑶. 幅角條件與幅值條件不同點:

①幅角條件與K無關。
②.據幅值條件可知,幅值改變，相應于K在改變。

⑷.例

仍以圖4-1所示的系統(tǒng)為例,用幅角條件來求 由0→+∞變化時根軌跡,并用幅值條件確定使閉環(huán)系統(tǒng)的一對共軛復數極點的阻尼比ξ等于0.707時的K值。
對于上述給定系統(tǒng),其幅角條件為：

(k=0,1,2,3,……)
其幅值條件為：

綜上可知,在作根軌跡圖時,只需應用幅角條件,即可畫出根的軌跡,然后利用幅值條件可求出根軌跡上某一點的相應的K值。因為在圖紙上繪制根軌跡的過程中,需要對幅角和幅值進行圖解測量,故必須將橫坐標軸與縱坐標軸按同樣的尺度進行等分。

⒉.繪制根軌跡步驟如下:

⑴.在S平面上畫出開環(huán)極點:
有兩個開環(huán)極點，以×表示。
見圖4-4。

⑵.確定實軸上的根軌跡:
如果試驗點位于正實軸上，則這表明不滿足幅角條件。因此，在正實軸上沒有根軌跡。 若將試驗點選在負實軸上,之間。
這時因此
即滿足幅角條件。

因此, 在負實軸上之間這一段是根軌跡一部分。

如果把試驗點選在負實軸上之間。這時 此顯然不滿足幅角條件。故在負實軸上從之間這一段,不是根軌跡一部分。

綜上,實軸上的根軌跡，存在于負實軸上之間。

⑶.確定S平面上,除了實軸以外的其它根軌跡:
在S平面上任取一點 (見圖4-4),令╱s =Λ1, ╱s+p =Λ2 。如果 位于根軌跡上，則應滿足幅角條件，即Λ1＋Λ2＝180L。顯然，只有位于坐標原點之間線段的垂直平分線上的點,才能滿足幅角條件，因此S平面上,該垂直平分線也是根軌跡的一部分。

綜上所述，根據幅角條件求得并畫出當K由0→+∞變化時根軌跡與圖 4-2按公式直接計算根的值所畫出的根軌跡是完全一樣的，且前者不受系統(tǒng)方程階次的限制，明顯優(yōu)于后者。

⑷.確定一對阻尼比ξ為0.707的共軛復數閉環(huán)極點:

這對閉環(huán)極點，位于通過原點且與負實軸夾角為 的直線上.由圖可以求出,當ξ=0.707時, 這一對閉環(huán)極點為

與這對極點相應的 值,可用幅值條件確定為