正反饋回路和非最小相位系統(tǒng)根軌跡

4.7.1 正反饋回路根軌跡

⒈引言：
前面介紹的繪制根跡的依據(jù)、法則，都是針對(duì)負(fù)反饋系統(tǒng)的。對(duì)于正反饋，前面的依據(jù)、規(guī)則，需要作些修改，修改以后的規(guī)則，可被用來(lái)畫正反饋回路的根跡。

⒉修改內(nèi)容：

⑴.作圖依據(jù)：

①.特征方程：

②.幅角條件：故稱零度根軌跡。

③.幅值條件：和前面一樣。

⑵.作圖規(guī)則：

①.實(shí)軸上根跡：為所在線段的右面有偶數(shù)個(gè)開環(huán)零、極點(diǎn)。

②.(n-m)條漸近線傾角： k=0,1,2

③.根跡的出射角、入射角：

⒊結(jié)論：

按零度根軌跡規(guī)則，繪制正反饋回路根軌跡，其步驟同負(fù)反饋。下面舉例說(shuō)明。

例4-6 設(shè)一反饋系統(tǒng)內(nèi)回路為正反饋，如圖4-20所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試?yán)L制其內(nèi)回路根軌跡。

圖4-20

⑴.常規(guī)方法

①.兩條根跡分支：分別起始于兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)-1+j, -1-j，終止于s平面∞處。

②.實(shí)軸上根跡：因?yàn)閷?shí)軸無(wú)開環(huán)零、極點(diǎn)，所以整條實(shí)軸是根跡。

③.兩條漸近線之傾角:

④.開環(huán)極點(diǎn)-1+j的出射角:

⑤.會(huì)合點(diǎn)：由公式

⑥.復(fù)平面上的根跡: 由幅角條件可知，兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)之間的連線是根跡。

⑦.所求根跡，如圖4-21所示。

⑵. “MATLAB”方法

解本題的MATLAB程序exe46.m：

n=[-1];
d=[1 2 2];
rlocus(n,d)
title(‘4-21’)

執(zhí)行本程序,可得正反饋根軌跡圖4-21

4.7.2 非最小相位系統(tǒng)之根跡

所謂非最小相位系統(tǒng):

如果系統(tǒng)的所有極點(diǎn)和零點(diǎn)均位于s左半平面，則系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。如果系統(tǒng)至少有一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)位于s右半平面，則系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。對(duì)于非最小相位系統(tǒng)之根跡繪制，要注意其幅角條件的變化。

例4-7 狀態(tài)空間模型的概念說(shuō)明

設(shè)一非最小相位系統(tǒng)如圖4-22所示，試作出其根跡。

⑴.常規(guī)方法

本系統(tǒng)的幅角條件為：

即

據(jù)上面方程可以作出如圖4-23所示
根軌跡。

⑵.“MATLAB”方法

解本題的MATLAB程序exe47.m：

n=[-1 1];
d=[1 2 0];
rlocus(n,d)
title(‘4-23’)

執(zhí)行本程序,可得非最小相位系統(tǒng)根軌跡，如圖4-23所示。

⑶.附言：

從這個(gè)系統(tǒng)的根軌跡圖，可以看出當(dāng)根增益 小于2時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。