單片機中最小二乘方濾波器的向量測量和功率計算

目前，以單片機為基礎(chǔ)的數(shù)字式電氣測量、保護裝置已成為主流形式。交流信號直接采樣也已成為一種普通的方法?？焖俑盗⑷~算法是其中的主要算法，而最小二乘方算法，計算量很大，特別是在單片機的處理能力有限的情況下，既要保證實時性，又要保證計算速度，不經(jīng)過精心設(shè)計和程序優(yōu)化，很難保證二者的統(tǒng)一。

通過減少采樣次數(shù)、使用每周濾四個采樣點擬合的濾波器和一套優(yōu)化措施，使該算法計算速度大大提高，可以勝任工頻向量的實時測量，因而可以用于過流、速斷、方向保護等多個方面。本文分析了濾波器中的向量相位關(guān)系，同時給出了以此為基礎(chǔ)的兩線制功率計算舉例。該方法已通過實際應(yīng)用檢驗。

1 最小二乘方濾波器的構(gòu)造

根據(jù)文獻[1～3]的研究結(jié)果，對每一路信號，輸入電壓函數(shù)可表示為：

P0——直流分量值

Pk——第K次諧波分量的幅值 K=1,…，N

θk——第K次諧波的相對起始相角 K=1，…，N

ω——基波角頻率，ω=2πf,f=50Hz

λ——常數(shù)，等于直流分量衰減時間常數(shù)

在一般測量、保護應(yīng)用中，只關(guān)心基波成分。為減少計算量，應(yīng)最大限度地減少采樣次數(shù)。根據(jù)采樣定理，一個正弦函數(shù)的離散采樣次數(shù)量少每周波3次。為方便起見，將每周波采樣次數(shù)定為4次，即采樣周期為5ms。則公式（1）中只能包含直流和工頻分量。將直流分量按泰勒級數(shù)展開并取其前兩項，則（1）式成為：

u(t)=P0-P0λt+P1sin(ωt)cos(θ1)+P1cos(ωt)sin(θ1) (2)

其中，P0為直流分量值，P1為基波峰-峰值，θ1為基波分量在采樣時刻相對于零點的相位角。

若以最近連續(xù)4次采樣值為樣本，可得到4個采樣方程。如將P0、-P0λ、P1cos(θ1)P1sin(θ1)作為待測未知數(shù)，可將4個采樣方程表示成如下矩陣：

X=A -1U (3)

其中A-1表示A的逆矩陣，亦即向量X的最小二乘方濾波器。根據(jù)文獻[3]，這個濾波器為：