反饋線性化直接方法的理論分析與改進(jìn)

　　0基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法介紹

　　基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法的基本思想是：首先根據(jù)對(duì)被控對(duì)象的性能要求，設(shè)計(jì)出具有希望動(dòng)態(tài)特性的線性參考模型；然后將參考模型的狀態(tài)作為控制系統(tǒng)的動(dòng)平衡狀態(tài)，再利用李亞普諾夫第二方法設(shè)計(jì)控制律使系統(tǒng)對(duì)動(dòng)平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定。這樣被控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程將收斂于參考模型給出的希望動(dòng)態(tài)過程，從而使系統(tǒng)獲得預(yù)期的性能。

　　這種方法分為兩步：(1)按照希望的動(dòng)態(tài)特性設(shè)計(jì)一滿足要求的參考系統(tǒng)，這里常用線性系統(tǒng)因?yàn)樗^容易分析和設(shè)計(jì)。(2)以模型參考系統(tǒng)的狀態(tài)作為實(shí)際被控系統(tǒng)的被控動(dòng)平衡狀態(tài)，利用Lyapunov函數(shù)直接方法設(shè)計(jì)控制律使系統(tǒng)對(duì)動(dòng)平衡狀態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定。這里我們?cè)O(shè)計(jì)線性的參考系統(tǒng)Q指數(shù)穩(wěn)定于原點(diǎn)，則這種方法的穩(wěn)定問題在二維坐標(biāo)系下的表示如圖1所示。

　　1基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法的討論

　　若讓式(3)、(4)和式(5)直接成立，則只能達(dá)到局部漸進(jìn)穩(wěn)定。因此，我們?nèi)詰?yīng)用backstepping設(shè)計(jì)方法中的虛擬控制的概念來設(shè)計(jì)。

　　但是，此方法也只能在局部實(shí)現(xiàn)，這是因?yàn)椋菏褂?a class="contentlabel" href="http://butianyuan.cn/news/listbylabel/label/改進(jìn)的方法">改進(jìn)的方法是使M→0，而非M=0，所以有兩種情況，即M→O_和M→0+，而對(duì)于M→0+，就有可能使V(e)=-eTQe+2M大于零，此時(shí)仍需進(jìn)一步討論。

　　因此現(xiàn)在的問題有如下幾個(gè)：

　　(1)使用改進(jìn)的方法如何判別M的符號(hào)問題。

　　(2)u-a21x1-a22x2-a23x3=0與最后結(jié)果是否能相容值得驗(yàn)證。

　　(3)求得的控制率結(jié)果中分母項(xiàng)有可能為零，因此可能會(huì)引起震蕩，此需要討論和驗(yàn)證。

　　對(duì)于問題(1)，我們可以這樣來實(shí)現(xiàn)：因?yàn)榭傮w的設(shè)計(jì)是使得V(e)=-eTQe+2M0，并且根據(jù)前面的假設(shè)當(dāng)t→∞時(shí)，有V(e)→0，增強(qiáng)的條件是前述的M≤0，減弱的條件是-eTQe+2M0，即2M-eTQe，因此，我們的設(shè)計(jì)可以這樣來進(jìn)行：讓M→0的速度快于eTQe→0，如此選擇就能使原系統(tǒng)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定。對(duì)于問題(2)和(3)，我們將進(jìn)行討論。

　　2改進(jìn)的基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法

　　考慮如下的非線性系統(tǒng)：

　　由于Ad的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，因此可以找到正定矩陣P，使Q為一正定矩陣。若能選取控制向量ξ(x，xd，v，t)，使M≤0，則V(e)0。若能選擇ξ使M在所考慮的系統(tǒng)參數(shù)變化范圍內(nèi)非正，則可保證系統(tǒng)具有參數(shù)不確定時(shí)反饋線性化的魯棒性。下面分情況考慮。

　　明顯上述式(20)～(23)中任何一個(gè)等號(hào)均不能成立，再次引入一個(gè)Lyapunov函數(shù)來進(jìn)行設(shè)計(jì)。此時(shí)我們僅以一種表達(dá)為例來介紹下面的設(shè)計(jì)過程。

　　現(xiàn)選擇第二種表達(dá)，即：當(dāng)[f(x，ξ，t)-Adx-Bdv]=-γe時(shí)，其中γ為一任意正數(shù)。

　　如果x3=x2d，則輸入是不可測(cè)的，即輸入無窮大，這在控制系統(tǒng)中是要避免的。但是，我們要注意的是分子亦是趨近于零的項(xiàng)，如果分子分母同時(shí)趨近零，那么我們的擔(dān)心將是不必要的，如果分子趨近于零的速度比分母快，那么就更不用擔(dān)心了。因此現(xiàn)在的問題轉(zhuǎn)化為分析A和B是否存在的問題。兩者的分子分母的解析式表達(dá)沒有非常明確的聯(lián)系，因?yàn)閷?duì)于此在數(shù)學(xué)上暫時(shí)還沒有找到解決的辦法。但是可以在實(shí)驗(yàn)中觀察到，即觀察分子分母趨于零的速度，速度快且持續(xù)保持在零的為相對(duì)的低階無窮小，在對(duì)某一類非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，如果分子是低階無窮小，則此設(shè)計(jì)有效，如果是分母，則設(shè)計(jì)無效。

　　3設(shè)計(jì)與仿真

　　考慮如下的非線性系統(tǒng)：

　　使用改進(jìn)的基于動(dòng)平衡狀態(tài)的反饋線性化方法使以上系統(tǒng)達(dá)到全局漸進(jìn)穩(wěn)定，設(shè)仿射非線性系統(tǒng)(34)中狀態(tài)x1，x2的動(dòng)平衡狀態(tài)分別為x1，x2，它是下列線性系統(tǒng)的狀態(tài)：

　　現(xiàn)在設(shè)x1(0)=0.3，x2(0)=1，x3(0)=-1，進(jìn)行仿真時(shí)因?yàn)槭街蟹帜覆糠譃榱悖貌坏椒抡娼Y(jié)果并有出錯(cuò)提示為"division by zero"。因此去掉分式中分母部分進(jìn)行仿真，其理由是因?yàn)樵O(shè)計(jì)的控制輸入結(jié)果和3(xs-x3d)兩項(xiàng)在t→∞時(shí)將為零，它們對(duì)于控制輸入只是起一個(gè)調(diào)節(jié)作用，此時(shí)的仿真結(jié)果為如圖2，3所示。

　　改變參數(shù)的值，設(shè)k1=0.1，k2=2，則仿真結(jié)果如圖4、5所示。

　　改變參數(shù)的值，設(shè)k1=2，k2=0.1，則無法得到滿意的結(jié)果，Matlab有提示為"Warning：Fail-ure at t=3.258456e+000．Unable to meet inte-gration tolerances without reducing the step sizebelow the smallest value allowed(1.157636e_014)at time t."。其仿真后的圖像如圖6、7所示。

　　但是設(shè)k1=2，k2=3，并在分式中前面加一個(gè)系數(shù)5得仿真結(jié)果如圖8、9所示。

　　設(shè)k1=3，k2=3，仍存在系數(shù)，則仿真結(jié)果如圖10、11所示。

　　由以上各圖我們得到以下結(jié)果：當(dāng)k1=k2時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)收斂情況最好；當(dāng)k1《k2時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)x1將不能穩(wěn)定于零，而且誤差e1=x2-x2d將存在并且比較大；當(dāng)k1》k2時(shí)，仿真沒有結(jié)果；在分式

　　前面加一個(gè)大于1的系數(shù)，仍去掉分母，其收斂效果將更好。

　　4結(jié) 論

　　本文對(duì)基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法進(jìn)行了討論、完善和補(bǔ)充，針對(duì)它在對(duì)仿射非線性系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)出現(xiàn)的問題，提出了改進(jìn)的基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法，它在形式和方法上對(duì)基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法做了一定的改進(jìn)，引用Backstepping設(shè)計(jì)方法虛擬控制的概念來對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行二次Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)。