利用超聲散射測量材料內(nèi)部微裂紋分形參數(shù)的新方法

1 引言

材料中實際裂紋的形狀參數(shù)和空間分布信息在缺陷無損評估中變得越來起重要。它們表明了裂紋的折皺程度，擴展路徑，在一定程度上還反映了裂紋的成因。根據(jù)裂紋的這些信息，可以在線評估材料的工作狀態(tài)，預(yù)測材料的工作壽命，甚至可以分析導(dǎo)致裂紋產(chǎn)生的物理和化學(xué)原因。所以，長期以來人們一直在探索描述真實裂紋的方法。分形可以表示自然界中的不規(guī)則性，而實際的裂紋有著非常復(fù)雜和不規(guī)則的形狀，且存在統(tǒng)計意義上的自相似性，科研工作者已經(jīng)成功地用分形的方法來描述真實的裂紋[1]-[6]，但是目前測量裂紋的分形參數(shù)非常費時。我們提出了一種利用超聲波來測量實際裂紋分形參數(shù)的方法，并在論文中給出了這種方法測量的理論模型和數(shù)值仿真結(jié)果。

應(yīng)用形狀參數(shù)來描述真實裂紋的方法可以追溯到六十年前，當時是用來描述材料斷口的形狀。Womersley 和Hopkins 首次用隨機函數(shù)來刻畫粗糙的斷口形狀，這種方法已經(jīng)有成功的應(yīng)用。后來，Mandelbrot等人發(fā)現(xiàn)這種斷裂面即使很不平整也可用分形表面來描述。在他們研究的基礎(chǔ)上，后來有許多科研工作者在相關(guān)的領(lǐng)域進行過大量的研究。從國內(nèi)外收集的文獻可以看出，這些研究工作主要包括以下三個方面[7]-[12]：一是裂紋的分形幾何參數(shù)的測量方法；二是利用測得的分形量化參數(shù)進行裂紋成因的探索；三是根據(jù)測得的裂紋分形幾何參數(shù)預(yù)測裂紋的擴展路徑。綜合分析三大研究領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)，如何方便快捷地測量裂紋的分形幾何參數(shù)是所有研究的關(guān)鍵。傳統(tǒng)的測量真實裂紋的分形參數(shù)的方法主要有小島法、斷面法、電磁散射法和光散射法，所有這些方法都有一個缺點就是既不方便又耗時，因為這些方法在測量時，都需要將裂紋沿裂紋面剖開，以便輪廓儀可以直接接觸到斷裂面或是電磁波與光可以直接照射在裂紋上。近幾年，有學(xué)者提出了用聲波的方法來測量裂紋的分形幾何參數(shù)的方法，利用聲波法可有效地克服以上方法的不足，因為聲波可以有效地穿透材料內(nèi)部并進行測量，而不需要對裂紋進行剖切。

Debashree Dutta[13]等人在1988年率先研究了分形裂紋的聲學(xué)特性，他們建立了裂紋的分形參數(shù)與其聲散射場的關(guān)系，根據(jù)其研究成果，人們可以通過聲波來測量裂紋的分形參數(shù)（Hurst 指數(shù)）。Debashree Dutta等人只從理論上推導(dǎo)了裂紋表面的不規(guī)則性（這種不規(guī)則性可用分形參數(shù)—Hurst 指數(shù)來度量）是如何影響其上的聲波的散射強度的，在他們的研究中，聲波采用準正弦脈沖聲波。

在本研究中，利用超聲波代替普通聲波，因為超聲波具有更高的頻率，高頻特性可以用來提高檢測的靈敏度。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了裂紋分形參數(shù)（Hurst 指數(shù)）是如何影響超聲波的時域回波信號的理論模型。與Debashree Dutta等人的方法相比，本研究中用了較少的假設(shè)，建立的模型更加簡便，檢測靈敏度更高，并且對理論模型進行了數(shù)值仿真。

論文第二部分，用具有平穩(wěn)特性且服從高斯分布的自相似隨機函數(shù)的組合來模擬微裂紋。因為微裂紋具有平穩(wěn)自相似特性，可以用一維分形布朗運動（FBM）模型來描述。這一模型使我們可以用分形參數(shù)， Hurst指數(shù)來表征微裂紋。

論文第三部分，用基爾霍夫近似方法研究了微裂紋的超聲散射聲場，最后推導(dǎo)出了微裂紋的超聲散射回波與Hurst 指數(shù)的關(guān)系式。

論文第四部分，對在不同的材料內(nèi)部，不同Hurst指數(shù)的微裂紋，不同測量距離時的裂紋超聲散射聲場進行了數(shù)值模擬。

2 微裂紋分形模型

Womersley和Hopkins首先提出用零均值且服從高斯分布的隨機函數(shù)來模擬裂紋。從這一理論出發(fā)，裂紋可以用帶隨機變量的復(fù)指數(shù)函數(shù)形式來表示：
(1)
式中，Cκ是模小于1的復(fù)隨機變量。為了研究的方便把e（x）歸一化，同時為了保證（1）式收斂，取=1 。

Mandelbrot在1982年引入分形布朗運動（FBM）的概念，作為隨機函數(shù)的推廣。從這一理論出發(fā)，一維微裂紋可以用下面的函數(shù)來表示：
(2)
式中，Cκ是隨機變量，服從零均值、均方差為1的高斯分布。
λ是大于1的常量。
Ακ是在區(qū)間[0,2π]上服從均勻分布的隨機變量。
H是 Hurst 指數(shù)。

Mandelbrot指出，F(xiàn)BM是增量為零均值平穩(wěn)實過程。f（x,H）的統(tǒng)計特性與原點無關(guān)，F(xiàn)BM具有統(tǒng)計自相關(guān)性和長時相關(guān)性。對于有限維的FBM，它的聯(lián)合概率分布具有比例不變性。

在本研究中，采用FBM作為微裂紋的模型。

3 微裂紋的超聲散射聲場模型