使用混合有限元邊界積分法實(shí)現(xiàn)高效的輻射與散射仿真

有限元法(FEM)作為一種分析和設(shè)計(jì)工具，已廣泛應(yīng)用于天線、微波和信號(hào)完整性等眾多電子工程領(lǐng)域。FEM求解器與其它矩量法(MoM)和時(shí)域有限差分法(FDTD)等數(shù)值方法相比擁有多項(xiàng)顯著的優(yōu)勢(shì)。這些優(yōu)勢(shì)包括：能夠處理復(fù)雜的非均勻和各向異性材料、能夠借助四面體單元準(zhǔn)確地描繪復(fù)雜幾何形狀、能夠使用高階基函數(shù)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確性、具有多種端口和入射波等激勵(lì)方式。利用這些功能優(yōu)勢(shì)，F(xiàn)EM就能夠以極高的準(zhǔn)確性對(duì)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模。

但是，對(duì)于開(kāi)放空間問(wèn)題(例如天線向開(kāi)放空間輻射的時(shí)候)，FEM求解器需要通過(guò)在人工截?cái)嗟倪吔绫砻嫔显O(shè)定輻射邊界條件(RBC)，以便將無(wú)限域截?cái)酁橛邢抻?。兩種廣泛使用的RBC包括一階吸收邊界條件(ABC)和理想匹配層(PML)，后者通常情況下都能夠提供最佳的準(zhǔn)確性。兩種方法都保留了FEM系統(tǒng)矩陣的稀疏性，但僅適用于凸起的輻射表面。兩種都屬于近似方法，都存在準(zhǔn)確性問(wèn)題，比如會(huì)產(chǎn)生來(lái)自輻射表面的非物理偽反射。這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)增大RBC與輻射結(jié)構(gòu)的間距，讓反射降至可忽視的水平，來(lái)予以解決。

另一方面，積分方程(IE)法，比如MoM，則非常適合對(duì)位于勻質(zhì)邊界或無(wú)限大介質(zhì)中的結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模。其分析內(nèi)核采用格林函數(shù)，可以在無(wú)窮遠(yuǎn)處采用Sommerfeld輻射條件。因此，不管是從內(nèi)存占用，還是從CPU時(shí)間占用來(lái)說(shuō)，對(duì)多個(gè)在空間上分離，互不相連的同質(zhì)結(jié)構(gòu)，IE求解器都毋庸置疑地成為更好的選擇，因?yàn)樗恍枰獙?duì)目標(biāo)之間的空間進(jìn)行詳細(xì)的建模。

早在1990年，Yuan就已經(jīng)成功實(shí)現(xiàn)了FEM求解器和IE求解器的混合算法，這個(gè)方法現(xiàn)普遍稱為混合有限元邊界積分方法(FEBI)。這種方法把邊界積分：Sommerfeld輻射條件的MoM解，用作FEM解的截?cái)噙吔?，因此可以在理論上?zhǔn)確地處理遠(yuǎn)場(chǎng)輻射條件。這樣就引出一系列有意思的特性，比如可用作任意形狀的距離輻射體很近的全共形的輻射表面。

本文將介紹ANSYS公司在HFSS中提供的一款全新的FEBI求解器。該求解器得力于近期區(qū)域分解方法的進(jìn)步。在現(xiàn)有的FEBI方法中，無(wú)限未知域被分割為兩個(gè)互不重疊的域：一個(gè)有界FEM域和一個(gè)無(wú)界同質(zhì)外部域。兩個(gè)域間的耦合通過(guò)其交界面上的合適的邊界條件加以考慮。

基于域分解的FEBI求解器

FEBI求解器首先將原始的目標(biāo)域Ω分割為兩個(gè)互不重疊的子域Ω1和Ω2，如圖1所示。

圖1：將目標(biāo)域分解為FEM域和IE域。

Ω1 和Ω2之間的公共界面在FEM域中表達(dá)為δΩ1，在IE域中表達(dá)為δΩ2。這種區(qū)分是必要的，因?yàn)楝F(xiàn)有的公式允許兩個(gè)域間的非共形耦合。也就是說(shuō)，可以分 開(kāi)處理各個(gè)域的網(wǎng)格剖分、基函數(shù)和基函數(shù)階數(shù)、矩陣建立和求解過(guò)程。對(duì)于一個(gè)穩(wěn)健的FEBI求解器來(lái)說(shuō)，能夠以模塊化的方式處理每個(gè)域的不同基函數(shù)階數(shù)是 非常重要的，因?yàn)楦唠A的IE求解器還在開(kāi)發(fā)的過(guò)程中。

根據(jù)上述的域分解情況，可以寫(xiě)出如下最終的系統(tǒng)矩陣：

這里，A_FE和A_BI分別代表FEM域和BI域的系統(tǒng)矩陣。C是兩個(gè)域之間的耦合矩陣。由于是通過(guò)界面上的電流和磁流來(lái)實(shí)現(xiàn)耦合的，因此這種耦合非常稀疏。等式2的解可以通過(guò)把下式拆分后迭代求得

然后用迭代法求得：

域分解法的優(yōu)勢(shì)可以從4式中清楚地看出。FEM域和BI域被去耦合了，因此并行化就很容易了。上文已經(jīng)介紹過(guò)，BI可以在FEM中用作準(zhǔn)確的截?cái)噙吔纭Ｓ捎谶@種實(shí)現(xiàn)方式的模塊化特征，可以輕松地實(shí)現(xiàn)先進(jìn)的FEM求解器和IE求解器的混合求解。

應(yīng)用

在本節(jié)中，將重點(diǎn)介紹使用這種混合方法的兩個(gè)例子來(lái)突顯FEBI的優(yōu)勢(shì)。如前文所述，一階ABC可 以用于足夠大的有界共形空間，但這個(gè)空間不能有凹陷。另一方面，PML可以拉近與模型的間距，但最適合于長(zhǎng)方體有界區(qū)域。對(duì)混合FEBI技術(shù)來(lái)說(shuō)，由于可 以精確計(jì)算邊界上電流和磁流的耦合，不用考慮這些外形和大小的約束問(wèn)題。從這種新邊界的測(cè)試顯示可以看出，當(dāng)間距為λ0/10的時(shí)候，能夠?qū)崿F(xiàn)速度和求解 規(guī)模的最佳平衡5。這里λ0是開(kāi)放空間中的波長(zhǎng)。另外，F(xiàn)EBI邊界可以做到完全共形，包括凹區(qū)域。另外，還可以把模型的各個(gè)部分獨(dú)立閉合為單獨(dú)的域，每個(gè)域都有一個(gè)BI邊界。通過(guò)使用高度共形和分離空間的區(qū)域，可以大幅度縮小有限元求解域的范圍，從而實(shí)現(xiàn)高效率的仿真。為證明這一點(diǎn)，下面將介紹兩個(gè)例子，一個(gè)使用獨(dú)立空間，一個(gè)使用高度共形邊界表面。

第一個(gè)例子使用的是完全符合教科書(shū)的介質(zhì)透鏡6。透鏡及其饋源喇叭如圖2所示。透鏡將來(lái)自于源天線的電磁場(chǎng)聚焦于正前方。仿真的透鏡采用長(zhǎng)方體波導(dǎo)管作為饋源，其ε_r=2.56，正面直徑為4.4λ₀。然后使用混合FEBI法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分離域的建模，饋源喇叭及周圍的長(zhǎng)方體空間作為一個(gè)域，透鏡周圍的圓錐形區(qū)域作為另一個(gè)域，每個(gè)分離空間的截?cái)嗝娌捎肂I邊界。

為便于比較，同時(shí)采用了PML對(duì)該天線系統(tǒng)進(jìn)行建模，為求得準(zhǔn)確的答案，使用了一個(gè)更大的長(zhǎng)方體空氣盒子將整個(gè)模型包在內(nèi)，并距離輻射體足夠的距離以保證結(jié) 果的準(zhǔn)確。與采用PML仿真相比，F(xiàn)EBI模型使用的較小空間可以將內(nèi)存的占用降低10倍。圖中同時(shí)顯示了兩種仿真計(jì)算得出的電場(chǎng)的陰影圖。如其顯示，雖 然FEBI仿真使用的分離空間較小，透鏡和喇叭內(nèi)外和周邊的電磁場(chǎng)都得到了準(zhǔn)確的計(jì)算，并與PML計(jì)算的結(jié)果吻合。喇叭的反射系數(shù)(Г)隨與透鏡的距離縮 小而增大。在比較加透鏡前后的喇叭端口反射時(shí)，兩種仿真都顯示Г有1.8dB的相同增長(zhǎng)。圖3是兩種方法計(jì)算得出的該天線系統(tǒng)的前向方向圖。再度體現(xiàn)出 FEBI和PML之間的高度吻合。圖2和圖3說(shuō)明FEBI在使用分離空間來(lái)確定天線系統(tǒng)的特性時(shí)，具有相當(dāng)?shù)臏?zhǔn)確性。

圖2：采用矩形喇叭饋源的介質(zhì)透鏡。

圖3：透鏡的輻射特性。

第二個(gè)例子考查的是一組安裝在復(fù)雜平臺(tái)上的天線陣列(圖4)。它是一個(gè)由螺旋天線組成的7元陣列，安裝在衛(wèi)星平臺(tái)上。衛(wèi)星兩端之間的長(zhǎng)度為18英 尺，天線工作頻率3.5GHz。由于這是一個(gè)大型模型，所以還是采用域分解法(DDM)來(lái)將FEM域分割為多個(gè)較小的域。7這種集成運(yùn)載平臺(tái)的天線系統(tǒng)之 前曾采用標(biāo)準(zhǔn)的ABC進(jìn)行仿真，使用大型閉合長(zhǎng)方體空間。該模型閉合的空間的體積大約為21000λ，DDM將求解范圍分解為34個(gè)域。仿真總共需要的存儲(chǔ)為210GB RAM。

圖4：安裝在衛(wèi)星上的螺旋天線陣列。

FEBI仿真采用全共形的空間，該共形區(qū)域如圖所示。閉合的空間體積下降到1200λ³。 由于目標(biāo)空間縮小，只需要在12個(gè)域上應(yīng)用DDM，仿真只要21GB的RAM就足夠了。相對(duì)于使用標(biāo)準(zhǔn)RBC求解，F(xiàn)EBI仿真所需的存儲(chǔ)大小會(huì)大幅度減 少。圖5是兩種仿真在同等幅度和相位激勵(lì)下所有天線元的輻射特性，而兩種特性實(shí)現(xiàn)了完美的吻合。使用FEBI對(duì)位于衛(wèi)星上的等激勵(lì)天線陣列仿真得出的三維 極坐標(biāo)方向圖如圖6所示。根據(jù)這個(gè)例子可以了解到，通過(guò)將FEBI與高度共形的有界域結(jié)合使用，可以在單個(gè)桌面計(jì)算機(jī)上能夠完成大型復(fù)雜天線系統(tǒng)的仿真工 作。

圖5：安裝在衛(wèi)星上的天線陣列的輻射特性。

圖6：7元陣列同等激勵(lì)下的輻射電磁場(chǎng)三維極化圖。

本文小結(jié)

混合FEBI是HFSS的FEM求解器中功能強(qiáng)大的新成員。設(shè)計(jì)工程師可以利用這種新技術(shù)將FEM仿真的優(yōu)勢(shì)與IE求解器在開(kāi)放邊界問(wèn)題上的效率和準(zhǔn)確性結(jié) 合在一起。這個(gè)方法對(duì)共形區(qū)域、凹空間和獨(dú)立空間都能取得相當(dāng)?shù)臏?zhǔn)確性，可以讓用戶縮小FEM求解域的范圍，從而大幅度縮短求解時(shí)間和減少求解所需占用的內(nèi)存。