開關(guān)電容梳狀濾波器幅頻特性的深入分析

　　最基本的開關(guān)電容電路是由電子開關(guān)和電容組成的，主要應(yīng)用是構(gòu)成各種低通、高通、帶通、帶阻等開關(guān)電容濾波器(Switched-Capacitor Filter，SCF)。將開關(guān)電容電路與運算放大器結(jié)合，組成的開關(guān)電容有源濾波器具有很多奇特的性質(zhì)，但由于引入了電子開關(guān)，對電路特性進行嚴密分析變得異常困難，目前已有的分析方法都只是在一定條件下從一個側(cè)面進行近似分析，本文立足于最基本的電路理論，借助計算機系統(tǒng)對其進行復(fù)雜而嚴格的分析計算，最終得到了具有普遍意義的結(jié)論，上述文獻的結(jié)果只是該普遍性結(jié)論的特例。

　　1 SCF電路

　　開關(guān)電容有源濾波器電路如圖1(a)，其中S1和S2是由周期為2T的方波信號控制的理想電子開關(guān)，方波控制信號p(t)波形如圖1(b)，其占空系數(shù)為0.5。即在2kT<t<(2K+1)T期間兩開關(guān)接通A點，在(2K+1)T<t<(2K+2)T期間兩開關(guān)接通B點，其中K=0，1，2，…，是時段編號。

　　2 時域法特性分析

　　時域分析法的思路是根據(jù)圖1的電路結(jié)構(gòu)建立電路的微分方程(以輸出電壓為研究對象)。轉(zhuǎn)換周期為2T的電子開關(guān)的方波控制信號可表示為周期為2T的周期信號p(t)與單位階躍信號ε(t)的乘積：

　　式中：k=0，1，2，…。fT=1／(2T)為開關(guān)頻率，電路在k時段的時域響應(yīng)(輸出電壓)表示為hk(t)，并設(shè)：

　　(1)電容C在t=0_時刻電壓為零(0_，kT_等帶下劃線符號表示相應(yīng)時刻的前瞬，下同)，即：

　　(2)因為狄拉克δ函數(shù)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)h(t)的傅里葉變換即為電路的頻率響應(yīng)函數(shù)，即系統(tǒng)(頻譜)函數(shù)H(Ω)，故設(shè)電路輸入信號(激勵)為δ函數(shù)，即：

　　由于電子開關(guān)周期性切換，RC電路對外電路的影響表現(xiàn)為：下一時段的輸出電壓初值是上一時段末時刻輸出電壓值乘(-1)，即：

　　圖1(a)中理想運放反相端為虛地，第0時段(即k=0，0≤t<T)電路響應(yīng)h0(t)的微分方程為

　　由式(8)可見，第k段的非零值時區(qū)為(kT，(k+1)T_)，即各時段非零值區(qū)間互不重疊，對hk(t)關(guān)于k求和，得開關(guān)電容電路(對外)的單位沖激零狀態(tài)響應(yīng)h(t)為：

　　特別注意，求和式是一周期為2T的周期方波p(t)與單位階躍信號ε(t)的乘積，對上式取Fourier積分變換即得到開關(guān)電容電路系統(tǒng)頻譜函數(shù)(用j表示虛數(shù)單位，下同)：

　　也可以根據(jù)式(1)定義的周期為2T的開關(guān)方波信號p(t)，將式(9)改寫為：

　　易證式(13)與式(10)完全一致，故其幅頻特性∣H(Ω)∣仍與式(11)相同。