T-S-T三級交換網(wǎng)絡(luò)路徑搜索算法的研究

1 引 言

　　光纖通訊技術(shù)的飛速發(fā)展使得目前高速通訊網(wǎng)絡(luò)性能的瓶頸集中在高速交換系統(tǒng)，研究、設(shè)計和制造高速交換系統(tǒng)對目前高速通訊網(wǎng)絡(luò)具有極其重要的意義。而且隨著電信網(wǎng)和計算機網(wǎng)絡(luò)的高速發(fā)展，高速大容量的交叉連接或交換設(shè)備和芯片的性能也在大幅度的提高。同時由于現(xiàn)在的交換機在不停地更新?lián)Q代，對新的交換算法的需求也在不斷增加。

　　本文的研究工作旨在利用矩陣置換的思想，模擬開發(fā)一種基于T(時分)-S(空分)-T(時分)交換網(wǎng)絡(luò)的調(diào)度算法。提出一種新的三級交換的矩陣模型，并在這種模型上設(shè)計相應(yīng)的無阻塞交換算法。利用矩陣作為數(shù)學(xué)模型，可以利用矩陣的置換操作搜索交換的設(shè)置。算法設(shè)計和實現(xiàn)的過程中，大量的實驗表明，本算法具有良好的特性，而且通過芯片級聯(lián)可實現(xiàn)。

　　本算法不同于以往的基于圖論的尋徑調(diào)度算法，力圖通過對這個算法的研究，為未來的大型綜合數(shù)字交換網(wǎng)絡(luò)奠定理論和實踐基礎(chǔ)，并為變化多端的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下快速建立有保障的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)提供先期的技術(shù)研究。

2 T-S-T數(shù)字交換網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

　　典型的T-S-T數(shù)字交換網(wǎng)絡(luò)可以用圖1的模型描述。

　　整個交換網(wǎng)絡(luò)以S接線器為核心組織。對于一個具有N條輸入復(fù)用線和N條輸出復(fù)用線的交換網(wǎng)絡(luò)而言，需要配置2N套T接線器，其中N套在輸入側(cè)，為初級T接線器，完成用戶的發(fā)送時隙到交換網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的公共時隙的交換；N套在輸出側(cè)，稱為次級T接線器，完成將交換網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的公共時隙上的住處傳送到另一用戶的接收時隙上。因此，交換網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部提供的公共時隙的數(shù)量就決定了交換網(wǎng)絡(luò)中能夠形成的話音通路的數(shù)量。中間的S接線器主要由一個N×N的交叉接點和具有N個存儲器的控制存儲器組來組成，用來完成將交換網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部運載的用戶信息從一條輸入側(cè)復(fù)用線上交換到規(guī)定的一條輸出復(fù)用線上。

3 T-S-T交換網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型的建立

3.1 問題的描述

　　在建立T-S-T交換網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型之前，首先給出這樣的數(shù)學(xué)抽象：用1個n×n的輸入矩陣inport表示輸入數(shù)據(jù)流，每一行代表1個T-S-T交換網(wǎng)絡(luò)的輸入鏈路，也就是說每一行代表l根鏈路HW，每一行內(nèi)元素的位置代表1個時隙內(nèi)各個數(shù)據(jù)幀的次序關(guān)系。由于T交換是對同一根鏈路的不同時隙之間進行的交換，故將其抽象為矩陣的行內(nèi)置換。因此當(dāng)輸入矩陣inport經(jīng)過一級T交換后，得到1個中間矩陣after_t1，此矩陣是inport矩陣通過每一行數(shù)據(jù)的行內(nèi)變換得到。同理，由于S交換是在不同鏈路的相同時隙之間進行的交換，類似于對一個矩陣在其同一列內(nèi)進行列內(nèi)變換，稱其為列內(nèi)置換。這樣當(dāng)after_tl又經(jīng)過S交換，得到另外一個中間矩陣after_s，此矩陣是after_tl矩陣通過列內(nèi)變換得到的。最后，又經(jīng)過第二級的T交換，產(chǎn)生outport矩陣，類似地，他是after_s矩陣通過行內(nèi)變換得到。于是，可以將交換算法這樣描述：對于初始矩陣inport，怎樣能找到一種滿足T-S-T三級交換的變換方式，最終得到1個輸出矩陣outport。而且對于用戶要求的任意outport(此矩陣與inport是單播關(guān)系)，都可以通過算法找到其變換方式，即可以找到2個中間矩陣。

3.2 矩陣模型的建立

　　將T變換對應(yīng)于矩陣的行內(nèi)變換，而S變換對應(yīng)于矩陣的列內(nèi)變換，這樣上面的這一段敘述就可以描述為inport矩陣經(jīng)過一系列的行內(nèi)變換得到after_t1矩陣，after_t1矩陣經(jīng)過一系列的列內(nèi)變換得到after_s矩陣，after_s矩陣又經(jīng)過一系列的行內(nèi)變換得到outport矩陣如圖2所示。

4 交換算法的設(shè)計思想

從上面論述可以看到，本文已經(jīng)將具體的路徑選擇問題，抽象成純粹的數(shù)學(xué)問題。接下來，本文將從純數(shù)學(xué)的角度來找出一種算法，從而解決這個交換問題。

4.1 問題的數(shù)學(xué)分析

　　觀察從輸入矩陣inport→中間矩陣after_t1→中間矩陣after_s→輸出矩陣outport整個的變換過程，輸入矩陣先后經(jīng)過2次時間變換，而只經(jīng)過1次空間變換。也就是說，當(dāng)輸入矩陣inport中的某個元素，要發(fā)生列變換時，他只有1次變換機會，此情況對于inport中的任意一個元素都是適用的。所以，時間變換只起到調(diào)整作用，因此本文要重點考察空間變換，試圖從空間變換S變換中找出矩陣的特點。

　　不難發(fā)現(xiàn)，中間矩陣after_s(n×m)(一般情況下，本文取m=n，無阻塞的交換網(wǎng)絡(luò))有這樣的特點：每一列的n個元素，他們的行號包含從1～n的所有行號。如上面的例子可以看到這一點。這樣，將after_s矩陣經(jīng)過1個空間變換，向空間變換的反方向變換的時候，這n個元素就會回到在inport矩陣原來的行上，在經(jīng)過1個時間變換的反變換就可以變成為輸入矩陣inport。

　　在發(fā)現(xiàn)中間矩陣after_s的特點之后，就有了基本的思路。這里的算法只要能夠使得outport矩陣經(jīng)過1個時間變換的反變換后能夠變成為滿足中間矩陣after_s的特點的矩陣，那么，也就找到一種矩陣的變換方式。解決了這個交換問題。有沒有一個從inport到outport的變換的問題，轉(zhuǎn)換成能不能找到一個滿足after_s矩陣要求的問題，此after_s矩陣只是outport矩陣經(jīng)過一個時間變換得到。

　　這樣，對于任意輸入矩陣inpott，經(jīng)過矩陣的行內(nèi)、列內(nèi)、行內(nèi)3次變換可以得到任意輸出矩陣outport，從而成功的完成了T-S-T交換。本文為了方便描述inport和T-S-T交換的核心算法，不妨將inport定義為順序矩陣n×n，就是以行為序，從0～n×n-1，例如n=4，inport被定義為：

　　而outport將是inport的任意置換矩陣。在這里也不妨將outport假設(shè)為：

　　為了從inport矩陣變換到outport矩陣，必須找到兩個中間矩陣after_t1和after_s，從而完成交換路徑的接續(xù)。因此本文的目標是研究一種算法，根據(jù)輸入矩陣和輸出矩陣產(chǎn)生這兩個中間矩陣，從而使處理機可以根據(jù)4個矩陣往寄存器陣列中填值，這樣就可以實現(xiàn)T-S-T網(wǎng)絡(luò)交換。為了以后敘述方便，3個寄存器陣列定義為：Tregister1(時分)、Sregister(空分)、Tregister2(時分)。

　　由于在實際的T-S-T交換中，CPU根據(jù)各個控制寄存器中的值來完成交換。由交換的特點可知，每個控制寄存器的值是由輸入序列和輸出序列決定的。其中Tregisterl的值可以由inport和after_t1決定，同理，Sregister的值由after_t1和after_s決定，Tregister2的值由after_s和outport決定。

4.2 算法思想的設(shè)計

　　算法設(shè)計要求：

　　(1)對于任意給定的輸入矩陣和輸出矩陣，都能夠得到2個中間矩陣；

　　(2)由輸入矩陣到第一個中間矩陣只能經(jīng)過一系列行內(nèi)置換；

　　(3)由第一個中間矩陣到第二個中間矩陣只能經(jīng)過一系列列內(nèi)置換；

　　(4)由第二個中間矩陣到輸出矩陣只能經(jīng)過一系列行內(nèi)置換。

　　由行內(nèi)變換和列內(nèi)變換的性質(zhì)可以推斷出after_t1(AT)和after_s(AS)矩陣的特點如下：

　　AT的特點：ATij=INij'(只能在同一行上進行置換)；AS的特點：AS是inport的一個置換矩陣；AS的同一列上不可能出現(xiàn)inport同一行上的元素。

　　這是由于AT同一列上不可能出現(xiàn)inport同一行上的元素，而AT到AS經(jīng)過的是列內(nèi)變換。

　　現(xiàn)在有了inport和outport，目標是通過這2個矩陣找到after_t1和after_s。從上面的設(shè)計要求和模型2個中間矩陣的特點可以看出，由inport到outport所經(jīng)過的置換與由outport到inport所經(jīng)過的置換是對稱的，所以由outport到inpott置換所得的2個中間矩陣也是問題的解。而且inport相對于output較為確定，因此為了方便描述和算法實現(xiàn)，本文采用逆推法，由outport經(jīng)過一系列的行內(nèi)變換逆推出after_s，由after_s經(jīng)過一系列的列內(nèi)變換逆推出after_t1。很容易發(fā)現(xiàn)從after_s到after_t1只需要一個簡單的排序就可以完成，因此算法的關(guān)鍵是由outport推導(dǎo)after_s。

　　這樣本文研究的交換網(wǎng)絡(luò)調(diào)度算法要解決的關(guān)鍵問題等效后分解為：將一個任意置換矩陣經(jīng)過一系列的行內(nèi)變換變成為同一列上不存在輸入矩陣的同一行數(shù)據(jù)的置換矩陣(這是由AS的特點所決定的)。將解決這個關(guān)鍵問題的算法稱為交換網(wǎng)絡(luò)調(diào)度算法的核心算法。

5 關(guān)鍵矩陣算法的思想和步驟

5.1 高沖突值行優(yōu)先排列算法

　　一些約定和定義：

　　規(guī)則：矩陣after_s同一列上不存在矩陣inport同一行上的數(shù)據(jù)。

　　那么對于任一給定輸出矩陣outport(OP)，本算法的任務(wù)是；根據(jù)“規(guī)則”將outport的每一行元素放到after_s(AS)同行的適當(dāng)位置上。例如假設(shè)現(xiàn)在開始第i行的排列，也就是說，第0行到第i～l行的數(shù)據(jù)已經(jīng)初步放置完畢(考慮到回溯，所以說“初步”)，則前i行的每一列元素的初始矩陣行可以組成1個一維矩陣，一共n個一維矩陣，定義為垂直行陣v[0]，v[1]。…，v[n一1]；而OP的第i行的所有元素的初始矩陣行又可以組成1個一維矩陣(元素的初始矩陣行等于該元素整除矩陣維數(shù)的商)，定義為水平行陣h，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如圖3所示：

　　定義：垂直沖突值：vRepeat[n]，其中vRepeat[i](i=0，1，2，…，n-1)等于u[i]中的元素在h中的重復(fù)次數(shù)的和。

　　水平?jīng)_突值：hRepeat[n]，其中hRepcat[i](i=0，1，…，n-1)等于k[i]在v中的重復(fù)次數(shù)的和。

　　生存數(shù)(lifenum)：假設(shè)vRepeat[j]等于k，也就是說，O[i]中有k個元素不能放在AS的第j列，能放在這一列的元素個數(shù)只有n-k個，定義為生存數(shù)(lifenum)，將這n-k個元素下標取出形成向量，定義為生存空間(lifespace)

5.2 高沖突值行優(yōu)先排列算法的實現(xiàn)

　　算法安放數(shù)據(jù)元素時，首先從vRepeat最大的那一列開始安放hRepeat最大的符合“規(guī)則”的元素，再逐次安放vRepeat中較小的且符合“規(guī)則”的列。這樣，大沖突值的元素得到優(yōu)先安放，重排或回溯的可能性就大大減小。

5.2.1 主流程

　　(1)排列第1行數(shù)據(jù)，row=0；

　　(2)row=row+1，如果row≥n，則停止，否則轉(zhuǎn)下一步；

　　(3)統(tǒng)計沖突值，調(diào)用判回溯算法判斷是否回溯，如果回溯，調(diào)用回溯算法，否則轉(zhuǎn)下一步；

　　選擇vRepeat沖突值最大的列，根據(jù)“規(guī)則”安放hRepeat中最大的元素；

　　(5)更新vRepeat和hRepeat；

　　(6)判斷這一行的數(shù)據(jù)是否都安放完畢，如果是，轉(zhuǎn)(2)，否則轉(zhuǎn)(3)。

5.2.2 判斷回溯算法

　　回溯條件：生存數(shù)為k，生存空間相同的列的個數(shù)和大于生存數(shù)k，則回溯，原因是某生存空間“不夠分配”。例如，第i列和第j列(i不等于j)的生存數(shù)都為1和生存空間都為{2}，這樣第2個元素只能放在一個位置上，也就是說，無論如何排列都無法滿足“規(guī)則”，需要回溯。

　　定義節(jié)點數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如圖4所示：

　　判回溯的算法流程：

　　(1)將生存數(shù)相同的所有節(jié)點串成鏈表，鏈表的序號等于生存數(shù)；

　　(2)從鏈表序號為0向鏈表序號為n順序掃描鏈表，統(tǒng)計生存空間相同的節(jié)點個數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)節(jié)點個數(shù)大于生存數(shù)的情況，需要回溯，否則轉(zhuǎn)下一步；

　　(3)將本鏈并入下一個鏈表；

　　(4)如果所有鏈表都不出現(xiàn)生存空間相同的節(jié)點個數(shù)和大于生存數(shù)的情況，則不需要回溯。

5.2.3 回溯算法

　　定義經(jīng)歷表：在回溯過程中，各元素所“呆過”的位置序列。

　　回溯算法流程：

　　(1)確定回溯元素(沖突值最大原則)；

　　(2)為回溯元素找一個“合法位置”；

　　合法條件：

　　規(guī)則：沖突值小于當(dāng)前情況；位置不在經(jīng)歷表中。

　　(3)為其他元素找“合法位置”；

6 算法的正確性證明和復(fù)雜度分析

　　從前面的分析可以知道，要解決整個交換算法的關(guān)鍵是確定和尋找中間矩陣after_s，也就是說，在解決問題之前，必須確定問題有解。如何確定after_s一定存在，這里可以通過組合數(shù)學(xué)中的抽屜原理證明必然存在這樣的矩陣，證明過程比較簡單，本文在這里不做推導(dǎo)證明。

　　從前面的理論分析中知道，衡量交換算法有2個重要的指標：交換次數(shù)和比較次數(shù)。為了統(tǒng)計本文所研究的交換算法的性能，本文針對不同階數(shù)矩陣的交換次數(shù)和比較次數(shù)做了系統(tǒng)的統(tǒng)計：

　　(1)對于每一行數(shù)據(jù)，由于統(tǒng)計沖突值、判回溯算法和元素的安放算法都是多項式復(fù)雜度，所以，在不存在回溯的條件下，本算法是多項式復(fù)雜度。

　　(2)在本算法中，“沖突”起著非常重要的作用，本身回避了許多回溯可能。即使回溯，本行可供回溯元素和非回溯元素“待”的位置個數(shù)非常有限，所以元素回溯的空間很小。

　　下面本文給出在不回溯的情況下，對高沖突行優(yōu)先排列算法在階數(shù)遞增變化時，50次平均交換次數(shù)和比較次數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如表1所示。

　　從前面對該算法的描述可知，該算法通過使每個元素“找到”盡可能適合自己的位置，從而回避了重新排列的許多可能，對于一行來說，完全避免了全排列，而且大大減小回溯概率。由于對大多數(shù)(約80％)矩陣來說，是不會出現(xiàn)回溯的，只有類似這樣的矩陣才有可能出現(xiàn)回溯(也可能不回溯)，即，AS的某些行，可供選擇的初始行太少。所以，該算法是一個近似多項式的算法，在不回溯的情況下，是多項式算法。該算法基本上能夠完成交換網(wǎng)絡(luò)的路徑接續(xù)，他有一個很大的優(yōu)勢就是在交換過程中交換的次數(shù)達到最小，這樣也就大大提高了尋找交換路徑的效率。本算法具有良好的特性，而且通過芯片級聯(lián)可實現(xiàn)。