引導(dǎo)直覺解決數(shù)學(xué)猜想難題，DeepMind登上《Nature》封面

頂尖數(shù)學(xué)家表示：「這是利用機器學(xué)習(xí)做出的第一個重大數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。」

多年來，數(shù)學(xué)家們一直使用計算機來生成數(shù)據(jù)以幫助搜索數(shù)學(xué)模式，這種被稱為實驗數(shù)學(xué)的研究方法產(chǎn)生出許多重要的猜想，例如BSD猜想。雖然這種方法已經(jīng)取得成功并且相當(dāng)普遍，但從這些數(shù)據(jù)中識別和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模式仍然主要依賴于數(shù)學(xué)家。

隨著計算機領(lǐng)域的飛速發(fā)展，利用計算機尋找數(shù)學(xué)模式變得越來越重要，因為計算機生成的數(shù)據(jù)量爆炸式激增。一些非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)對象（例如具有數(shù)千個維度的對象），可能因為太深奧而無法直接推理。出于這些限制，DeepMind的研究者希望采用人工智能以全新的方式增強數(shù)學(xué)家的洞察力。

數(shù)學(xué)家的直覺在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中扮演著極其重要的角色，只有結(jié)合嚴格的形式主義和良好的直覺才能解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。下圖的框架描述了一種通用方法，數(shù)學(xué)家可以通過該方法使用機器學(xué)習(xí)工具來啟發(fā)他們對復(fù)雜數(shù)學(xué)對象的直覺。這是一種自然且富有成效的方式，將統(tǒng)計學(xué)和機器學(xué)習(xí)很好地融入了數(shù)學(xué)研究。

從概念上講，這個框架提供了一個直覺試驗臺，可以快速驗證兩個量之間的關(guān)系直覺是否值得研究，如果是，試驗臺會指導(dǎo)它們之間如何相關(guān)。DeepMind已經(jīng)使用上述框架幫助數(shù)學(xué)家在兩種情況下獲得有影響力的數(shù)學(xué)結(jié)果。

DeepMind作為一家全球領(lǐng)先的人工智能公司，他們探索了機器學(xué)習(xí) (ML) 在識別數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和模式方面的潛力?，F(xiàn)在他們幫助數(shù)學(xué)家解決了一些數(shù)學(xué)難題，成為AI首次探索純數(shù)學(xué)的前沿研究，相關(guān)論文今天已在《自然》雜志上發(fā)表。

論文地址：https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

具體來說，DeepMind與頂級數(shù)學(xué)家合作，將AI應(yīng)用于純數(shù)學(xué)中的兩個領(lǐng)域：拓撲和表示論。其中DeepMind與牛津大學(xué)的 Marc Lackenby 教授和András Juhász 教授一起，通過研究紐結(jié) (Knot)的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)了不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間的意外聯(lián)系；與悉尼大學(xué)的 Geordie Williamson 教授一起，DeepMind發(fā)現(xiàn)了一個關(guān)于排列猜想的新公式，該猜想幾十年來一直未解決。

拓撲難題

DeepMind與牛津大學(xué)的 Marc Lackenby 教授和András Juhász教授一起，通過研究紐結(jié) (Knot)的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)了不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間的意外聯(lián)系。

低維拓撲是數(shù)學(xué)中一個活躍且有影響力的領(lǐng)域，DeepMind發(fā)現(xiàn)了紐結(jié)代數(shù)和幾何不變量之間的關(guān)系，建立了數(shù)學(xué)中一個全新的定理。這些不變量有許多不同的推導(dǎo)方式，但DeepMind主要關(guān)注兩大類：雙曲不變量和代數(shù)不變量。這兩種類型的不變量來自不同的數(shù)學(xué)學(xué)科，因此在它們之間建立聯(lián)系是非常有趣的。

下圖顯示了紐結(jié)不變量的一些例子。

DeepMind假設(shè)在一個紐結(jié)的雙曲不變量和代數(shù)不變量之間存在一種未被發(fā)現(xiàn)的關(guān)系。監(jiān)督學(xué)習(xí)模型能夠檢測大量幾何不變量和signature σ(K) 之間存在的模式，并用歸因技術(shù)（attribution technique）確定最相關(guān)的特征。下圖(a) 顯示了cusp幾何的三個不變量，圖 3b 中部分地顯示了其中的關(guān)系。

表示論難題

在澳大利亞數(shù)學(xué)家、悉尼大學(xué)教授Geordie Williamson的幫助下，DeepMind借助人工智能解決了表示論中一個長期存在的猜想——組合不變性猜想。

Geordie Williamson

組合不變性猜想指出某些有向圖和多項式之間應(yīng)該存在關(guān)系。DeepMind使用機器學(xué)習(xí)方法確認了這種關(guān)系確實存在，并確定其可能與稱為破碎的二面角區(qū)間（broken dihedral interval）和外反射（extremal reflection）的結(jié)構(gòu)有關(guān)。有了這些知識，Williamson教授就能夠發(fā)現(xiàn)一個令人驚訝的算法來解決組合不變性猜想。

表示論是數(shù)學(xué)中抽象代數(shù)的一支。旨在將代數(shù)結(jié)構(gòu)中的元素「表示」成向量空間上的線性變換，借以以研究結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。其中，任何表示都是不可約表示的直和。不可約表示的結(jié)構(gòu)由 Kazhdan-Lusztig (KL) 多項式控制，這些多項式與組合學(xué)、代數(shù)幾何和奇點理論都有著深厚的聯(lián)系。

組合不變性猜想作為一個關(guān)于 KL 多項式的開放猜想，已經(jīng)存在了約40年，但只有部分進展。在理解對象之間關(guān)系方面取得進展的一個障礙是 Bruhat 區(qū)間。下圖給出了小 Bruhat 區(qū)間及其 KL 多項式的例子。

DeepMind的研究把組合不變性猜想作為初始假設(shè)，利用機器學(xué)習(xí)的方法發(fā)現(xiàn)了一個能夠預(yù)測 KL 多項式Bruhat區(qū)間的監(jiān)督學(xué)習(xí)模型，并且具有相當(dāng)高的準(zhǔn)確率。通過測試將 Bruhat 區(qū)間輸入網(wǎng)絡(luò)的方式，研究者發(fā)現(xiàn)某些圖表和特征的選擇特別有助于準(zhǔn)確預(yù)測。特別地，借助更準(zhǔn)確的估計函數(shù)，研究者還發(fā)現(xiàn)有一種受先前工作啟發(fā)的子圖足以計算 KL 多項式。

該研究已經(jīng)在超過 300 萬個示例中對新算法進行了計算驗證，下圖是表示論歸因的例子。

研究者進一步探究了機器學(xué)習(xí)是否可以闡明不同數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系。下圖顯示了兩個「Bruhat 區(qū)間」及其相關(guān)的「Kazhdan-Lusztig 多項式」其中，Bruhat 區(qū)間是一個圖表，它代表了通過一次只交換兩個對象來反轉(zhuǎn)對象集合的順序的所有不同方式。KL 多項式能夠告訴數(shù)學(xué)家一些關(guān)于該圖在高維空間中存在的不同方式的信息。當(dāng) Bruhat 區(qū)間有 100 或 1000 個頂點時，有趣的結(jié)構(gòu)才開始出現(xiàn)。

毫無疑問，機器學(xué)習(xí)和人工智能系統(tǒng)為識別和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模式提供了廣闊的前景。DeepMind表示他們希望這項研究成為將人工智能作為純數(shù)學(xué)中有用工具的開始。我們相信，那些懸而未決的數(shù)學(xué)難題，一定會通過數(shù)學(xué)家與AI的合作突破，人類的直覺也會借助AI上升到一個新的水平。

參考文獻：https://deepmind.com/blog/article/exploring-the-beauty-of-pure-mathematics-in-novel-ways