數(shù)學(xué)的關(guān)鍵是思想

來源：機器學(xué)習(xí)算法那些事

應(yīng)該會有很多同學(xué)在開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)時，表現(xiàn)出這般那般的不爽無奈，露出一副“我了個去，這也要證明？！”的模樣。但就我所知的情況來看，其實大多數(shù)人所用的教材，從大眾角度看還沒有到一種極致精確的架構(gòu)數(shù)學(xué)的程度。大多數(shù)的教材所做的還是“我教會你怎么弄這個東西就行了，別怨我了啊乖”的活。

但是，Zorich和Tarence Tao不約而同的花了大量筆墨去闡述人們?nèi)绾谓⑵饘崝?shù)體系，Tao 甚至從自然數(shù)開始討論問題，一次又一次的重構(gòu)了減法，除法，極限，細(xì)致至極，在這個過程中，出現(xiàn)了非常多的經(jīng)典的證明題，關(guān)于這樣的題目，有一個詞語可以顯示他們的價值“基石”。以及，他們都在后面的篇章開始討論了度量空間和拓?fù)涞南嚓P(guān)內(nèi)容，所謂大師所見略同，大致如此。

那么，為什么呢？

1、數(shù)系，從頭說起

柯朗尼克有句名言:“上帝創(chuàng)造了自然數(shù),其他一切都是人造的

這樣的說法可能有些偏激，但的確說明了問題。

我們有了0，1，我們懂得不斷累加，于是自然數(shù)出現(xiàn)了。沒錯，這個時候我們只會加法，但其實我們懂得更多，比如：數(shù)學(xué)歸納法。利用這個歸納法可以得出幾乎所有自然數(shù)的代數(shù)法則，以及不少漂亮的結(jié)論，比如：構(gòu)造出序的概念（比較大小，注意不要忘了，此時我們只有自然數(shù)和加法，我們不知道怎么比較大小，這一點非常關(guān)鍵：如果你想要看到本質(zhì)，你必須把一切全部拋棄，然后要做的就是至繁歸于至簡，這似乎類似于張無忌學(xué)太極功的故事。），這個證明是非?，嵥榈?，但本質(zhì)上他只需要歸納法和加法法則的定義。

通過加法，我們自然的考慮相反的情形（注意，這樣的試探性思考非常關(guān)鍵），于是“學(xué)會”了減法，從而自然的得到了負(fù)整數(shù)。而不斷的累加同一個數(shù)的過程中，我們學(xué)會了乘除法。有了除法，我們就可以構(gòu)造出有理數(shù)了。（關(guān)鍵詞，構(gòu)造）

有理數(shù)有一個好的性質(zhì)，稠密。就是說有理數(shù)的可數(shù)可以通過不斷取兩個有理數(shù)的中點，（a+b）/2的過程去得到無窮多個有理數(shù)。

But incomplete！（嗯，語氣可參考《A beautiful mind》里Nash發(fā)現(xiàn)均衡理論時那兩句incomplete~）幾千年前就有畢達哥拉斯學(xué)派的人發(fā)現(xiàn)了根號2，到現(xiàn)在，根號2不是有理數(shù)的證明依然出現(xiàn)在各類數(shù)學(xué)分析的習(xí)題中（運用反證法即可）。

對于實數(shù)的構(gòu)造是個困難的事情。也是數(shù)學(xué)系的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的一個重點，但在此不多闡述。必須說明的是，實數(shù)體系的架構(gòu)可以非常好的說明數(shù)學(xué)家的工作模式，怎么選擇公理（這在集合論上體現(xiàn)的非常明顯，在對概括公理（axiom comprehension）拋棄上。），建立定理。當(dāng)然其實我們還有個初等的例子可以說明公理化體系的構(gòu)建過程：歐幾里德幾何。

一個小插曲，我們學(xué)了12年的中小學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)到過證明的方法，提到過反證法和數(shù)學(xué)歸納法，可顯然在中小學(xué)數(shù)學(xué)中這兩個方法基本上不會考查，用這兩個方法基本只會令問題變復(fù)雜。

然而這兩種方法是極為重要的，并且被廣泛運用的。這在實數(shù)理論架構(gòu)時體現(xiàn)明顯，閉區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，極限點定理都不同程度的運用了反證法。而數(shù)學(xué)歸納法普遍運用于自然數(shù)和整數(shù)的一些證明，比如運算法則的架構(gòu)上。

而很多好的證明也涉及這兩種證明，比如“質(zhì)數(shù)有無窮多個”的證明就是一個非常古典和經(jīng)典的反證法證明，然而我猜，大多數(shù)人在接受中小學(xué)教育時并不知曉這個十分初等的問題和證明（來自歐幾里德），這個證明本身是讓人眼前一亮的。那么為什么我們的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育會錯重點，把這么重要的問題忽略掉呢？

原因很簡單，出證明題批起來麻煩。。。而且學(xué)會一個又一個證明，對于考試是無用的：考試所用的試題必然是標(biāo)準(zhǔn)化規(guī)范化的，然而每個有趣的命題的證明往往具有其特殊性，這顯然是不利的。

然而考試是必然存在的，美國小學(xué)也考試，為什么他們的學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)要高于我們呢？這是個深刻而廣泛的問題，但一個顯然的原因，我們在考試上放了太多的精力，以致于無法分心去欣賞一些美妙的數(shù)學(xué)證明了。私以為，這些方面的差異是導(dǎo)致我們國民邏輯思維能力較弱，以致于常常媒體上出現(xiàn)各種因果混亂，神邏輯的狀況。

當(dāng)然，我個人對這兩種證明方法不算偏愛，他們能解決所遇到的問題，但是一個重要的問題在于他們更形式化，而不是構(gòu)造性的，這不利于我們理解一個事物，盡管我們可能知道它是對的。

2、群，度量與拓?fù)洹獩]錯，我們很一般

前面說到，Zorich和Tarence Tao不約而同的在他們各自的數(shù)學(xué)分析著作里提到了度量空間，拓?fù)?，群論?/p>

當(dāng)然可能部分同學(xué)會覺得這些數(shù)學(xué)深層的東西對于自己而言是無所謂有無所謂無的。那么請看我的一位在MIT讀物理學(xué)博士的朋友說過的話：“高代和數(shù)學(xué)分析都是基礎(chǔ)，往后會有更有用的學(xué)科?！保槺氵@里贊揚一下他的敬業(yè)態(tài)度，目測他這幾天在忙課題，已經(jīng)連續(xù)3天沒開過郵箱，回復(fù)我的郵件。。。）

而會有同學(xué)甚至覺得數(shù)學(xué)無所謂學(xué)與不學(xué)。

毫無疑問，數(shù)學(xué)在科研中至關(guān)重要?？梢砸姷较铝形淖郑?/p>

數(shù)學(xué)的領(lǐng)域在擴大。

哲學(xué)的地盤在縮小。

哲學(xué)曾經(jīng)把整個宇宙作為自己的研究對象。那時，它是包羅萬象的，數(shù)學(xué)只不過是算術(shù)和幾何而已。

17世紀(jì)，自然科學(xué)的****展使哲學(xué)退出了一系列研究領(lǐng)域，哲學(xué)的中心問題從“世界是什么樣的”變成“人怎樣認(rèn)識世界”。這個時候，數(shù)學(xué)擴大了自己的領(lǐng)域，它開始研究運動與變化。

今天，數(shù)學(xué)在向一切學(xué)科滲透，它的研究對象是一切抽象結(jié)構(gòu)——所有可能的關(guān)系與形式?？墒俏鞣浆F(xiàn)代哲學(xué)此時卻把注意力限于意義的分析，把問題縮小到“人能說出些什么”。

哲學(xué)應(yīng)當(dāng)是人類認(rèn)識世界的先導(dǎo)，哲學(xué)關(guān)心的首先應(yīng)當(dāng)是科學(xué)的未知領(lǐng)域。

哲學(xué)家談?wù)撛釉谖锢韺W(xué)家研究原子之前，哲學(xué)家談?wù)撛卦诨瘜W(xué)家研究元素之前，哲學(xué)家談?wù)摕o限與連續(xù)性在數(shù)學(xué)家說明無限與連續(xù)性之前。

一旦科學(xué)真真實實地研究哲學(xué)家所談?wù)撨^的對象時，哲學(xué)沉默了。它傾聽科學(xué)的發(fā)現(xiàn)，準(zhǔn)備提出新的問題。

哲學(xué)，在某種意義上是望遠鏡。當(dāng)旅行者到達一個地方時，他不再用望遠鏡觀察這個地方了，而是把它用于觀察前方。

數(shù)學(xué)則相反，它是最容易進入成熟的科學(xué)，獲得了足夠豐富事實的科學(xué)，能夠提出規(guī)律性的假設(shè)的科學(xué)。它好像是顯微鏡，只有把對象拿到手中，甚至切成薄片，經(jīng)過處理，才能用顯微鏡觀察它。

哲學(xué)從一門學(xué)科退出，意味著這門學(xué)科的誕生。數(shù)學(xué)滲入一門學(xué)科，甚至控制一門學(xué)科，意味著這門學(xué)科達到成熟的階段。

哲學(xué)的地盤縮小，數(shù)學(xué)的領(lǐng)域擴大，這是科學(xué)發(fā)展的結(jié)果，是人類智慧的勝利。

但是，宇宙的奧秘?zé)o窮。向前看，望遠鏡的視野不受任何限制。新的學(xué)科將不斷涌現(xiàn)，而在它們出現(xiàn)之前，哲學(xué)有許多事可做。面對著浩渺的宇宙，面對著人類的種種困難問題，哲學(xué)已經(jīng)放棄的和數(shù)學(xué)已經(jīng)占領(lǐng)的，都不過是滄海一粟。

哲學(xué)在任何具體學(xué)科領(lǐng)域都無法與該學(xué)科一爭高下，但是它可以從事任何具體學(xué)科無法完成的工作，它為學(xué)科的誕生準(zhǔn)備條件。

數(shù)學(xué)在任何具體學(xué)科領(lǐng)域都有可能出色地工作，但是它離開具體學(xué)科之后無法作出貢獻。它必須利用具體學(xué)科為它創(chuàng)造條件。

模糊的哲學(xué)與精確的數(shù)學(xué)——人類的望遠鏡與顯微鏡。

——《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》

嗯，就是這樣。

說回正題。關(guān)于群論的話題可以參看《無法解出的方程:天才與對稱》，這是由天才的數(shù)學(xué)家伽羅華架構(gòu)的理論體系。它所研究的是一系列的變換。而群論出來時，當(dāng)時的理論數(shù)學(xué)家都看不懂。直到死后50年他的手稿才發(fā)表，被當(dāng)時的學(xué)界認(rèn)可了?？茖W(xué)史上最偉大的發(fā)明往往來源于年輕人，為什么？因為他們受傳統(tǒng)思想影響還不大，沒有條條框框的限制，還有批判思維能力。這樣的一個一般性的基石性的理論（研究對稱與變換，意味著，你所做的一切變換都可以納入這個體系，而什么是變換呢？加法減法，平移旋轉(zhuǎn)，這些都是變換，所以這個理論相當(dāng)?shù)木哂幸话阈裕槭裁辞叭藳]有發(fā)現(xiàn)？不知道，沒有答案。但我們知道的是，這套理論大放異彩，滲透到數(shù)學(xué)的各個理論，甚至在音樂，藝術(shù)（你應(yīng)當(dāng)知道，那些藝術(shù)家利用的對稱****是是極好的變換）。

類似的是度量空間和拓?fù)鋵W(xué)。度量空間來源于對于歐幾里德幾何的研究。然而在一般的平面幾何研究中，我們是不討論長度的（回憶初中生活10秒~），度量空間補上了這一個空缺，它談?wù)摿瞬煌拈L度的定義，將幾何學(xué)抽象出來作更細(xì)致的研究。

而拓?fù)鋵W(xué)則更為抽象，也更為general，用來研究各種“空間”在連續(xù)性的變化下不變的性質(zhì)。早期一個古典的問題：哥尼斯堡七橋問題很能說明這門學(xué)科的精髓所在（愛山的童鞋自行翻閱《數(shù)學(xué)活動課》叢書，其他孩子建議翻閱《龐加萊猜想》了解一些拓?fù)鋵W(xué)的內(nèi)容，順便提句龐加萊猜想，這是懸賞一百萬美元獎金的千禧年七大數(shù)學(xué)問題之一，已被佩雷爾曼破解，原本的猜想內(nèi)容是是在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那么這個空間一定是一個三維的圓球。很不起眼？事實上這個猜想有助于人類更好地研究三維空間，其帶來的結(jié)果將會加深人們對流形性質(zhì)的認(rèn)識。）

拓?fù)渌芯康氖菐缀螆D形的一些性質(zhì)，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點，又不產(chǎn)生新點。

在拓?fù)鋵W(xué)里我們完全不考慮度量和形狀，但是討論拓?fù)涞葍r的概念。比如，圓和方形、三角形的形狀、大小不同，但在拓?fù)渥儞Q下，它們都是等價圖形；足球和橄欖球，也是等價的----從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是完全一樣的。

換句話說，拓?fù)鋵W(xué)中，我們追求的是最本質(zhì)的特征，比如一個流形有幾個“孔”，這涉及到連通性的概念；再比如下圖，對于拓?fù)鋵W(xué)家來說，這里出現(xiàn)的所有實體，都是同一樣事物（為什么？）

而另一個拓?fù)鋵W(xué)中有趣的例子是 莫比烏斯帶：

思考：如何操作，可以使你手中一條紙帶的總長度趨于無窮大，且不破壞紙帶的基本結(jié)構(gòu)？

3、本質(zhì)與結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)界的前進方式

“一個好的定理在剛出來時，往往難得不得了，幾百頁的證明，你當(dāng)然曉得Picard定理，Picard證明這個定理的時候，是一百多頁的證明，現(xiàn)在Picard定理的證明可以一頁多就證完了，這是什么原因?我們說這個定理重要，我們就會花很大力氣慢慢將它消化，直到最后定理看起來是平凡的，基本上重要的定理，就算不是短期的，十年、二十年后，這個證明會很簡單，因為通常我們將這些定理的證明分解，分解成很小部分，各個小部分吸收到不同地方去，最后剩下的是一個平凡的證明，歷史上所有的發(fā)展都是這樣。比如平面幾何，在埃及的時代，由于阿拉伯人一把火把埃及亞歷山大大帝圖書館燒掉了，埃及當(dāng)然是沒有文獻留下來。不過我相信埃及造金字塔用了兩千年，圖書館中一定搜存了很多關(guān)于平面幾何的定理和事實。當(dāng)時沒有歐氏公理，所有的現(xiàn)象很亂，亂得不得了，這邊一條定理，那邊一條定理你可能覺得很難很難。可是這整個東西，等你將定理整個了解以后，就變簡單了，我想差不多是這個意思?！?/p>

——Shing-Tung Yau

我們看過了一系列的數(shù)學(xué)成果，現(xiàn)在，我們可以初步的把握一點點數(shù)學(xué)家們的思考方式。

他們思考問題，將問題不斷分解簡化，抽象成一般性的問題，使他們可以運用一些已有的數(shù)學(xué)工具去解決問題。

待到這個問題在人們運用original idea徹底解決之后，人們不斷消化理解在這個問題中所理解的一些內(nèi)容，然后這些會沉淀下來，成為新的工具，去解決新的問題，不斷循環(huán)。

而在這個過程中，本質(zhì)和結(jié)構(gòu)非常重要。在面對一些問題時，一個合理的定義和公理能讓問題變得簡潔，數(shù)學(xué)家們?yōu)榱撕啙嵉臄?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不可不謂“喪心病狂”，平面幾何有一堆命題，可他們只確立了5個公理，這意味著其他命題都需要被證明。。。

但不得不說公理化的架構(gòu)體系是令人興奮的，你是愿意宣稱：我只要5個公理就可以掌握平面幾何，還是：我用了1000個公理證了這個命題？這和Apple以及Steve Jobs宣稱的，“至繁歸于至簡”是一致的。簡潔意味著我們更好的理解了這些事物，真正了解了本質(zhì)。沒有人喜歡復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。

從這個角度看，把數(shù)學(xué)比作大廈是非常合適的。公理和所有人類積累的技巧構(gòu)成了大廈的基石，而利用這一切，我們可以爬得更高，架起更高的建筑，看得更遠，如此循環(huán)。

4、藝術(shù)家

曾經(jīng)看到過一個比較貼，關(guān)于陶哲軒和伽羅華天賦對比——伽羅華——那位為愛決斗而早亡的天才毫無疑問的勝出了。

因為，如果說Tarence Tao 是在幾棟大樓間加裝了若干漂亮的天橋，伽羅華做的則是平地另起一棟華麗的高樓。

說伽羅華，

這是一個英年早逝的天才數(shù)學(xué)家，他死因是：為愛決斗，然后。。。然后就沒有然后了。。。

非常激進，非常浪漫的天才。

我覺得，在科學(xué)家和藝術(shù)家之間，數(shù)學(xué)家更接近于藝術(shù)家，又或者說做數(shù)學(xué)的人活在人文和科技的交叉點上。

很多關(guān)于數(shù)學(xué)的事物，在你深入進去之后會看到一種思想上的結(jié)晶，是一種思維的美感，這類似于音樂，繪畫，文學(xué)的模式。

但不會有人抱怨音樂繪畫文學(xué)難以理解，就算他不懂****（寫成書有厚厚一大本），不懂線條明暗配色，不懂意象構(gòu)造和文字深層內(nèi)涵，但他依然能聽能看能讀，樂于其中。從這個角度來說，數(shù)學(xué)很高貴，鑒賞數(shù)學(xué)的門檻很高，這就能使數(shù)學(xué)避開了一批人云亦云，裝模作樣的人來濫竽充數(shù)。

你應(yīng)該知道，據(jù)說維多利亞女王非常喜歡《愛麗絲夢游仙境》，所以她請 Lewis Carroll 務(wù)必帶來他的新書一睹為快，于是女王收到了《淺論行列式，及其在線性和代數(shù)方程組中的應(yīng)用》 ；如果你是王小波的門下走狗的話，你也應(yīng)該知道，王小波是學(xué)數(shù)學(xué)的；你也可以知道，很多大數(shù)學(xué)家同時都是音樂天才，甚至有在樂隊供職的……

但拋開這一切，數(shù)學(xué)是自然科學(xué)中唯一一門可以天高任鳥飛的學(xué)科——不依賴于實驗，只依賴于思想——這就是它與藝術(shù)和文學(xué)的共通之處，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最關(guān)鍵的認(rèn)識：

你什么也沒有，只有思想