工程師必須掌握的采樣定理與過(guò)采樣率

數(shù)字世界是現(xiàn)實(shí)世界的鏡像，模數(shù)轉(zhuǎn)換器ADC則是連接這兩個(gè)世界的大門。采樣速率是ADC重要參數(shù)之一，圍繞采樣速率，有一條著名的定理：奈奎斯特采樣定理。

采樣定理：

只要采樣頻率大于或等于有效信號(hào)最高頻率的兩倍，采樣值就可以包含原始信號(hào)的所有信息，被采樣的信號(hào)就可以不失真地還原成原始信號(hào)。

采樣定理是美國(guó)電信工程師H.奈奎斯特在1928年提出的，在1948年，信息論的創(chuàng)始人C.E.香農(nóng)對(duì)這一定理加以明確地說(shuō)明并正式作為定理引用，因此在許多文獻(xiàn)中又稱為香農(nóng)采樣定理。

為方便介紹，我們統(tǒng)稱之為采樣定理。

在詳細(xì)介紹采樣定理之前，我們一定要知道一個(gè)非常有趣的頻率現(xiàn)象：'任何模擬信號(hào)，在離散化后，在頻率上都會(huì)按照采樣率周期性延拓。'

先拋個(gè)問(wèn)題：

我們以fs=100Hz的采樣率，采集一段模擬信號(hào)，得到了100個(gè)采樣點(diǎn)，我們能夠重構(gòu)出原始的模擬信號(hào)，得到模擬信號(hào)的頻率信息嗎？

理論來(lái)講是不可能的，模擬信號(hào)一旦經(jīng)過(guò)采樣離散化后，其波形就已經(jīng)失真了，我們永遠(yuǎn)無(wú)法完美的重構(gòu)原始模擬信號(hào)。

其中一個(gè)重要原因是，我們無(wú)法區(qū)分離散后信號(hào)的頻率信息。

我們從時(shí)域和頻域兩個(gè)方向分別理解：'我們無(wú)法區(qū)分離散后信號(hào)的頻率信息'這句話的意義。

時(shí)域解釋

下圖藍(lán)色點(diǎn)是采集后的一段離散序列，我們無(wú)法知道采樣的原始信號(hào)是紅色曲線還是藍(lán)色點(diǎn)直連重構(gòu)的曲線。

通常情況下，我們重構(gòu)采集后的離散點(diǎn)方法是直接連接相鄰采樣點(diǎn)。

基于這樣的方法，我們直接重構(gòu)后的最低頻率為fa，而理論上可以提取出（fa+n*fs）Hz的信號(hào)（n為≥0的整數(shù)，fa為原始信號(hào)頻率，fs為采樣頻率）。

比如一段頻率為fa=10Hz的模擬信號(hào)，經(jīng)過(guò)采樣頻率fs=100Hz后，離散后的信號(hào)可以重構(gòu)為10Hz、110Hz、210Hz。。。。。這個(gè)特性就是信號(hào)頻率的模糊性。

頻域解釋

一段頻率為帶限為fa的模擬信號(hào)，經(jīng)過(guò)采樣頻率fs采樣后，其在頻譜上的波形會(huì)按照f(shuō)s周期性復(fù)現(xiàn)，波形見(jiàn)下圖。

這是一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象，可以看到時(shí)域的結(jié)果和頻域的分析是統(tǒng)一的。

而這里面就隱含著著名的采樣定理。

同樣的，我們從時(shí)域和頻域分別看下采樣定理的理解。

時(shí)域分析

在時(shí)域的角度下，當(dāng)一個(gè)周期采集點(diǎn)數(shù)少于2個(gè)時(shí)，我們直連采樣點(diǎn)重構(gòu)信號(hào)，則頻率就錯(cuò)了；而當(dāng)一個(gè)周期采集兩個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)，采用直連的重構(gòu)方式，我們起碼可以得到原始信號(hào)的頻率信息。

頻域解釋

如下圖所示，當(dāng)fs<2fa時(shí)，周期性復(fù)現(xiàn)的帶限信號(hào)，會(huì)有紅色重疊的地方，這會(huì)導(dǎo)致我們失去原始帶限信號(hào)的基本頻率信息，俗稱頻譜混疊。

如上就可以提煉出采樣定理的基本要義了。

采樣定理與過(guò)采樣率

上文中的fa是信號(hào)的帶限（信號(hào)的最大頻率范圍），2*fa是采樣定理的基本要求；M*2*fa中，M就是過(guò)采樣率，過(guò)采樣率是對(duì)'采樣定理的最低采樣頻率'而言的。

過(guò)采樣率M每提高4倍，可以讓ADC分辨率B提高1bit。舉例如下：

過(guò)采樣率分別為4、16、64，ADC分辨率B分別會(huì)提高1、2、3bit。這個(gè)后面會(huì)繼續(xù)深入介紹。