工程師必須掌握的采樣定理與過采樣率

數(shù)字世界是現(xiàn)實世界的鏡像，模數(shù)轉(zhuǎn)換器ADC則是連接這兩個世界的大門。采樣速率是ADC重要參數(shù)之一，圍繞采樣速率，有一條著名的定理：奈奎斯特采樣定理。

采樣定理：

只要采樣頻率大于或等于有效信號最高頻率的兩倍，采樣值就可以包含原始信號的所有信息，被采樣的信號就可以不失真地還原成原始信號。

采樣定理是美國電信工程師H.奈奎斯特在1928年提出的，在1948年，信息論的創(chuàng)始人C.E.香農(nóng)對這一定理加以明確地說明并正式作為定理引用，因此在許多文獻中又稱為香農(nóng)采樣定理。

為方便介紹，我們統(tǒng)稱之為采樣定理。

在詳細介紹采樣定理之前，我們一定要知道一個非常有趣的頻率現(xiàn)象：'任何模擬信號，在離散化后，在頻率上都會按照采樣率周期性延拓。'

先拋個問題：

我們以fs=100Hz的采樣率，采集一段模擬信號，得到了100個采樣點，我們能夠重構(gòu)出原始的模擬信號，得到模擬信號的頻率信息嗎？

理論來講是不可能的，模擬信號一旦經(jīng)過采樣離散化后，其波形就已經(jīng)失真了，我們永遠無法完美的重構(gòu)原始模擬信號。

其中一個重要原因是，我們無法區(qū)分離散后信號的頻率信息。

我們從時域和頻域兩個方向分別理解：'我們無法區(qū)分離散后信號的頻率信息'這句話的意義。

時域解釋

下圖藍色點是采集后的一段離散序列，我們無法知道采樣的原始信號是紅色曲線還是藍色點直連重構(gòu)的曲線。

通常情況下，我們重構(gòu)采集后的離散點方法是直接連接相鄰采樣點。

基于這樣的方法，我們直接重構(gòu)后的最低頻率為fa，而理論上可以提取出（fa+n*fs）Hz的信號（n為≥0的整數(shù)，fa為原始信號頻率，fs為采樣頻率）。

比如一段頻率為fa=10Hz的模擬信號，經(jīng)過采樣頻率fs=100Hz后，離散后的信號可以重構(gòu)為10Hz、110Hz、210Hz。。。。。這個特性就是信號頻率的模糊性。

頻域解釋

一段頻率為帶限為fa的模擬信號，經(jīng)過采樣頻率fs采樣后，其在頻譜上的波形會按照fs周期性復(fù)現(xiàn)，波形見下圖。

這是一個非常有趣的現(xiàn)象，可以看到時域的結(jié)果和頻域的分析是統(tǒng)一的。

而這里面就隱含著著名的采樣定理。

同樣的，我們從時域和頻域分別看下采樣定理的理解。

時域分析

在時域的角度下，當一個周期采集點數(shù)少于2個時，我們直連采樣點重構(gòu)信號，則頻率就錯了；而當一個周期采集兩個采樣點時，采用直連的重構(gòu)方式，我們起碼可以得到原始信號的頻率信息。

頻域解釋

如下圖所示，當fs<2fa時，周期性復(fù)現(xiàn)的帶限信號，會有紅色重疊的地方，這會導致我們失去原始帶限信號的基本頻率信息，俗稱頻譜混疊。

如上就可以提煉出采樣定理的基本要義了。

采樣定理與過采樣率

上文中的fa是信號的帶限（信號的最大頻率范圍），2*fa是采樣定理的基本要求；M*2*fa中，M就是過采樣率，過采樣率是對'采樣定理的最低采樣頻率'而言的。

過采樣率M每提高4倍，可以讓ADC分辨率B提高1bit。舉例如下：

過采樣率分別為4、16、64，ADC分辨率B分別會提高1、2、3bit。這個后面會繼續(xù)深入介紹。