雷達成像近似二維模型及其超分辨算法

式(4)與式(3)相比較，指數(shù)中增加了兩項，其中前一項是“多普勒移動”項，縱坐標yk越大，影響也越大，這可以補充式(3)之不足；而后項是時頻耦合的多普勒移動項，由于Mγ/Fsfc，它的影響可以忽略.因此，可將考慮MTRC情況下，回波二維模型的一階近似式寫成：

　(5)

　　需要指出，每個散射點的參數(shù)之間存在下述關系：ωk/μk=2γ/Fsfcδθ2和k/vk=fcFs/γδθ.由于雷達參數(shù)(fc,γ,Fs)和運動參數(shù)(δθ)均已知，所以待估計的五個參數(shù)中只有三個是獨立的.本文假設五個參數(shù)是獨立的，而在成像計算中已考慮參數(shù)之間的關系.
　　設{ξk}Kk=1≡{αk,ωk,k,μk,vk}Kk=1，現(xiàn)在我們要從y(m,n)中估計參量{ξk}Kk=1.

三、二維推廣的RELAX算法
　　對于(5)式所示的信號模型，令：

Y=［y(m,n)］M×N

則　(6)
式中

　　設ξk估計值為，則ξk的估計問題可通過優(yōu)化下述代價函數(shù)解決：

　(7)

式中‖.‖F(xiàn)表示矩陣的Frobenius范數(shù)，⊙表示矩陣的Hadamard積.
　　上式中C1的最優(yōu)化是一個多維空間的尋優(yōu)問題，十分復雜.本文將RELAX［3］算法推廣以求解.為此，首先做以下準備工作，令：

　(8)

　　即假定{i}i=1,2,…,K,i≠k已經(jīng)求出，則式(7)C1的極小化等效于下式的極小化：

C2(ξk)=‖Yk-αk(aM(ωk)bTN(k)Pk)⊙Dk(vk)‖2F　(9)

令：　　Zk=YkP-1k⊙Dk(-vk)　(10)
　　由于Pk為酉矩陣，矩陣Dk的每個元素的模|Dk(m,n)|=1,顯然矩陣Yk與Zk的F范數(shù)相同，故C2的極小化等效于下式的極小化：

C3=‖Zk-αkaM(ωk)bTN(k)‖2F　(11)

　　對上式關于αk求極小值就獲得αk的估計值k：

k=aHM(ωk)Zkb*N(k)/(MN)　(12)