二級倒立擺的模糊控制研究

2 二級倒立擺的數學模型的建立
二級倒立擺由小車、擺桿、水平導軌等組成，小車由伺服電機、皮帶輪、傳動帶帶動在水平導軌上左右運動，上下擺可繞各自的轉軸在水平導軌所在的鉛垂面內自由轉動。小車和上下擺桿間通過軸承連接，每個軸承連接處固定有電位器，分別用以檢測兩根擺桿與鉛垂線的角度偏移。小車相對軌道中心點的偏移位置也由固定在皮帶輪軸上的電位器檢測。
其基本原理為：角度、位置信號經檢測電路獲取后，再由微分電路得到相應的微分信號，這些信號經A／D轉換器轉換為數字信號傳輸至計算機。通過已設計的控制程序計算控制力所需電壓值，經D／A轉換器轉換為模擬信號，功率放大后驅動電機運轉，電機再用皮帶拖動小車在導軌上往復運動實現對倒立擺的有效控制。忽略空氣阻力和各種摩擦，并認為擺桿為剛體。圖1為二級倒立擺示意圖。

倒立擺參數定義如下：M為小車質量，0．584 kg；m1為擺桿1質量，0．05 kg；m2為擺桿2質量，0．13 kg；m3為擺桿3質量，0．236 kg；l1為擺桿1中心到轉動中心的距離，0．077 5 m；l2為擺桿2中心到轉動中心的距離，0．25 m；θ1為擺桿1與豎直方向的夾角；θ2為擺桿2與豎直方向的夾角；F為作用在系統(tǒng)上的外力；g為重力加速度，9．8 m／s2。
利用拉格朗日方程推導運動學方程，拉格朗日方程為：

式中，L為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)的廣義坐標，T為系統(tǒng)的動能，V為系統(tǒng)的勢能。

式中，i=1，2，3…，n，fi為系統(tǒng)在第i個廣義坐標上的外力。
在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標有3個，分別為x，θ1，θ2。經計算并線性化并帶人參數值得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程：

3 二級倒立擺模糊控制系統(tǒng)的設計與仿真
二級倒立擺系統(tǒng)控制目標較多，包括小車位移，下擺擺角，上擺擺角。傳統(tǒng)的模糊控制器采用系統(tǒng)誤差，誤差的導數作為輸入，若用傳統(tǒng)模糊控制控制二級倒立擺，則模糊控制器有6個輸入：小車位移、小車速度、下擺擺角、下擺角速度、上擺擺角和上擺角速度。
若對每個輸入變量定義5個模糊子集，控制規(guī)則最多有56個，模糊控制規(guī)則設計復雜，可調參數非常多，不利于模糊規(guī)則的完整制定，這就是在使用模糊控制研究多變量非線性系統(tǒng)時的所謂“規(guī)則爆炸(Rule Explosion)”問題。然而，如果用3組二維模糊控制器(2輸入1輸出)通過串行或并行設計控制器，由于控制器個數增加，大大降低控制實時性，甚至由于不能及時輸出當前控制作用力而失控。
3．1 倒立擺控制合成變量
本文是將最優(yōu)控制理論與模糊控制相結合而采用的一種融合技術。它是把小車的位移、上擺擺角、下擺擺角綜合成一個變量E，將小車的速度、上擺的角速度、下擺的角速度綜合成一個變量EC，E和EC作為模糊控制器的輸入，電壓u作為輸出，減少模糊控制器的輸入，解決規(guī)則爆炸的問題，由此設計Mamdani型模糊控制器。
通過LQR仿真，得出輸入輸出數據對，根據得到的數據計算并制定模糊規(guī)則。
對于嵌套函數Y=f2[f1(x)]，先使f1(x)對輸入變量作初步處理，再利用算法f2(x)根據前級算法的輸出進行控制。f1稱為融合函數，f2稱為作用函數。
首先利用最優(yōu)控制理論中的LQR求得系統(tǒng)的狀態(tài)反饋系數K和狀態(tài)向量x：

為實現變量融合，分別選取兩個反饋系數為控制主元，其他輸入變量可根據與主元的相關性和可融合性分別歸并到兩主元中。對于二級倒立擺，由于擺桿2的控制難度最大，分別選擇θ2、θ2為控制主元，相應系數為：kθ=kθ2，kθ=kθ2融合函數的輸出向量為：

融合函數的輸出方程為：

通過把輸入狀態(tài)變量降維，得到角度誤差E和角速度誤差EC：

通過信息融合，將系統(tǒng)的6個狀態(tài)變量化為2個狀態(tài)變量，減少系統(tǒng)的輸入，實現模糊控制器的降維。由降維后得到的2個變量E和EC做為模糊控制器的輸入，設計一個二維Mamdani型的模糊控制器。利用最優(yōu)控制求得K。最優(yōu)控制性能指標函數為：

使式(7)為最小，可求得：

求解如下Ricatti方程可得到矩陣P：

性能指標函數中，定義矩陣Q和矩陣R用來平衡系統(tǒng)對輸入量和狀態(tài)量的敏感程度。它們對閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能影響很大。