一文講透一階系統(tǒng)的系統(tǒng)響應(yīng)、傳遞函數(shù)和輸出響應(yīng)

　　一：一階系統(tǒng)響應(yīng)定義

　　通常來講，一階系統(tǒng)分為電壓驅(qū)動一階系統(tǒng)(a)以及電流驅(qū)動一階系統(tǒng)(b)，如下圖所示：

　　這兩個一階系統(tǒng)在線路上是完全等效的。它們的階躍響應(yīng)如下：

　　電壓或者電流的上升時間在這里定義為從10%開始，上升到90%結(jié)束所需要的時間。對于一階系統(tǒng)，可以推導(dǎo)出上升時間為：

　　帶寬定義為AC輸入信號激勵下輸出響應(yīng)幅值降到直流信號幅值的70.7%(或-3dB)所對應(yīng)的頻率。

　　一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達式如下：

　　由此可以推導(dǎo)出一階系統(tǒng)的帶寬為：

　　由以上數(shù)學(xué)表達式，我們很容易得出一階系統(tǒng)的上升時間與帶寬的關(guān)系為：

　　由此可知，一階系統(tǒng)的上升時間與帶寬成反比，這也就是為什么我們經(jīng)常說帶寬變寬，系統(tǒng)響應(yīng)速度會變快的理論解釋。

　　二：一階系統(tǒng)在低頻和高頻下的近似響應(yīng)

　　從一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，我們知道一階系統(tǒng)的幅值，相角以及群延時的表達式如下：

　　其中群延時是表征系統(tǒng)中頻率信號所經(jīng)歷的延時時間。

　　一階系統(tǒng)只有一個極點，接下來我們看看此一階系統(tǒng)在低頻和高頻下的行為是怎么樣的，低頻或者高頻都是相對極點頻率所言。對于高頻，我們假定wτ?1，此時一階系統(tǒng)的幅值、相角以及群延時近似為：

　　因此，對于高頻一階系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的幅值近似以20dB/十倍頻的速度衰減，相移近似為-90度，群延時隨著頻率的平方減少，頻率高的信號比頻率低的信號群延時要少。

　　對于低頻信號，即wτ?1，我們可以近似得到如下傳函：

　　因此，對于低頻一階系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的幅值近似為單位1，負的相移與頻率近似成線性關(guān)系。群延時只與時間常數(shù)有關(guān)，也就是說，極點會貢獻有限的相移。比如頻率比極點頻率低10倍頻的頻率點，極點會貢獻約-5.7度的相移。如果負的相移過大，就會引起系統(tǒng)振蕩。

　　三：一階系統(tǒng)階躍短時輸出響應(yīng)

　　接下來，我們研究一下當(dāng)一階系統(tǒng)發(fā)生階躍響應(yīng)后，在起始很短一段時間內(nèi)(遠小于一階系統(tǒng)時間常數(shù)τ)的輸出是什么樣子的。因為這一結(jié)論在實際工程應(yīng)用中更為常見。

　　我們可以借用指數(shù)函數(shù)的展開式進行近似計算，由

　　我們可以得到：

　　因此，在階躍響應(yīng)發(fā)生后很短一段時間內(nèi)，電壓看上去隨時間是線性變化的。由此可以推出流過電容的電流近似是恒定的：

　　下面我們就用以上結(jié)論分析全橋整流系統(tǒng)的紋波電壓。一全橋整流系統(tǒng)如下：

　　此系統(tǒng)輸入為120VRMS/60Hz的正弦波，RC時間常數(shù)為(100ohm)(1000uF)=100ms，遠遠大于輸入正弦波整流后饅頭波的周期8.3ms(1/120Hz)。因此我們利用上述結(jié)論可以比較容易算出電容上的紋波電壓：

　　輸出電壓最大值近似為170V;

　　流過100ohm電阻的電流近似為常數(shù)170V/100ohm=1.7A

　　電容會以8.3ms的時間常數(shù)進行放電來維持電阻上的電流(此時整流橋四個二極管全部關(guān)閉)

　　由I=Cdv/dt，我們就可以得到電容上的紋波電壓為：

　　利用LTspice或者Pspice仿真軟件，我們可以得到這一結(jié)果：

　　接下來會簡單介紹二階系統(tǒng)。