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采樣控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)特性及其計(jì)算方法

作者: 時(shí)間:2012-03-17 來源:網(wǎng)絡(luò) 收藏
摘 要:本文針對采樣控制系統(tǒng)連續(xù)信號與離散信號共存的特點(diǎn),指出傳統(tǒng)離散化分析方法因忽略了系統(tǒng)在采樣時(shí)刻之間的信息導(dǎo)致無法精確、真實(shí)地反映采樣控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)特性,在此基礎(chǔ)上,應(yīng)用采樣控制系統(tǒng)直接設(shè)計(jì)方法,基于提升技術(shù),在考慮系統(tǒng)在采樣時(shí)刻之間全部信息的條件下,推導(dǎo)給出了采樣控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的計(jì)算方法,最后通過一個(gè)具體計(jì)算實(shí)例說明了本文方法的有效性。
關(guān)鍵詞:采樣控制系統(tǒng) 提升技術(shù) 時(shí)間響應(yīng)


1 引言
當(dāng)前多數(shù)控制方案都采用離散控制器控制連續(xù)被控對象的方法,這就構(gòu)成了采樣控制系統(tǒng)[1]。連續(xù)時(shí)間信號和離散時(shí)間信號共存,是采樣控制系統(tǒng)的顯著特點(diǎn),也成為精確分析采樣控制系統(tǒng)的難點(diǎn)所在[2]。傳統(tǒng)的采樣控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的計(jì)算方法是將連續(xù)被控對象離散化后,應(yīng)用離散系統(tǒng)理論近似計(jì)算系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),這種計(jì)算方法的缺陷有兩點(diǎn):一是系統(tǒng)的真實(shí)輸出為連續(xù)輸出,而計(jì)算結(jié)果卻是離散的;另外,計(jì)算過程中只考慮系統(tǒng)在采樣時(shí)刻點(diǎn)的信息,卻忽略了系統(tǒng)在采樣時(shí)刻之間的信息,因此只能是一種不精確的計(jì)算方法。
本課題受高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專向科研基金資助(HB-097-6820)
本文應(yīng)用采樣控制系統(tǒng)直接設(shè)計(jì)方法[2,3],基于提升技術(shù),推導(dǎo)給出了采樣控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)計(jì)算方法。
標(biāo)準(zhǔn)采樣控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示,圖中實(shí)線代表連續(xù)信號,虛線代表離散信號,y(t)為輸出信號,u(t)為外部輸入信號,ψ、ν為數(shù)字信號,Kd為線性時(shí)不變離散控制器,S、H分別為理想采樣開關(guān)和保持器,G為廣義連續(xù)LTI被控對象,可表示為

由于采樣開關(guān)的存在,使采樣控制系統(tǒng)中連續(xù)和離散信號共存,具有周期時(shí)變性。Bassam A.Bamieh將采樣控制系統(tǒng)進(jìn)行提升化處理,提升后系統(tǒng)為離散時(shí)不變系統(tǒng),其輸入輸出空間為無窮維,而系統(tǒng)范數(shù)不變[2,3]。可見,提升技術(shù)雖然解決了采樣控制系統(tǒng)的周期時(shí)變問題,但提升后系統(tǒng)的輸入輸出空間是無窮維,這一問題成為采樣控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的主要難點(diǎn)。
2 采樣控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)特性及其計(jì)算方法
本節(jié)應(yīng)用提升技術(shù)將采樣控制系統(tǒng)F轉(zhuǎn)化為線性時(shí)不變系統(tǒng)F,然后求解系統(tǒng)F(G,Kd)的時(shí)間響應(yīng),得到提升輸出。最后,將提升輸出進(jìn)行逆提升處理,從而得到采樣控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)輸出y(t),如圖2所示。

2.1 采樣控制系統(tǒng)的提升化處理
提升算子L和逆提升算子L-1的作用可做如下直觀解釋[2]:L將定義在t∈[0,+∞)上的連續(xù)信號y分割成定義在k∈N上的無窮個(gè)離散信號yk,每一個(gè)離散信號取值于定義在[0,h)上的Banach空間;而L-1是將無窮個(gè)離散信號“粘貼”成連續(xù)信號,如圖3所示,提升技術(shù)具有如下性質(zhì)[4]:
性質(zhì)1:連續(xù)信號經(jīng)過提升后,信號的范數(shù)保持不變,且L·L-1=I。
性質(zhì)2:周期時(shí)變的采樣控制系統(tǒng)經(jīng)過提升化處理后變成輸入輸出空間為無窮維的線性離散時(shí)不變系統(tǒng),且提升系統(tǒng)不改變采樣控制系統(tǒng)的范數(shù)和穩(wěn)定性。
性質(zhì)3:提升化處理不改變系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)特性。
根據(jù)提升算子和逆提升算子的定義,只是對信號的“分割”或“粘貼”,并不丟失信號的任何信息,因此提升化處理并不改變信號的時(shí)域特性,性質(zhì)3顯然成立,證明略。

為使問題簡化,設(shè)式(1)所示被控對象模型滿足D21=D22=0,提升后采樣控制系統(tǒng)中廣義被控對象模型


2.2 采樣控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)特性
提升系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)空間表示為,

由于提升系統(tǒng)是線性時(shí)不變離散系統(tǒng),故系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)空間表示為

但[kh,(k+1)h)時(shí)間段內(nèi),由于B1u是定積分,因此是常值,同時(shí)區(qū)間[kh,(k+1)h)內(nèi)卻是變化的,所以在區(qū)間[kh,(k+1)h)內(nèi)隨時(shí)間t′變化。假設(shè)系統(tǒng)初態(tài)為零,對于任意時(shí)刻t(0≤t<∞),在輸入信號u(t)作用下,系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為

可見根據(jù)式(2),對于任意時(shí)刻t,都存在yk(t′)與之對應(yīng),所以由式(2)表示的采樣控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)是連續(xù)的,而且式(2)中,

以上算子表達(dá)式說明式(2)描述的采樣控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)考慮了采樣時(shí)刻之間系統(tǒng)的信息,并且在任意時(shí)變輸入信號下,算子都具有精確解,這樣,式(2)真實(shí)地反映了采樣控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)特性。
2.3 采樣控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)計(jì)算方法

當(dāng)外部輸入信號為任意時(shí)變信號時(shí),算子的計(jì)算方法是首先將積分區(qū)間n等分,然后應(yīng)用近似求和的方法計(jì)算積分項(xiàng),n值選取越大,計(jì)算結(jié)果越精確,計(jì)算公式如下:



3 計(jì)算實(shí)例

 

根據(jù)前述內(nèi)容計(jì)算采樣控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),響應(yīng)曲線如圖5和圖6所示。
圖5為單位階躍信號下的響應(yīng)曲線,圖6為頻率0.5Hz、單峰1°的正弦輸入下[0,5]秒內(nèi)的輸出響應(yīng),曲線1是應(yīng)用本文方法計(jì)算出的時(shí)間響應(yīng)曲線,由于考慮了采樣時(shí)刻之間系統(tǒng)的信息,所以響應(yīng)曲線是光滑曲線,而曲線2是首先將低通濾波器和連續(xù)被控對象離散化,得到純離散系統(tǒng)后計(jì)算出的響應(yīng)曲線,在一個(gè)周期[kh,(k+1)h)時(shí)間內(nèi),系統(tǒng)輸出為常值,故響應(yīng)曲線為階梯狀。

另外,當(dāng)t′=0時(shí),即只考慮采樣時(shí)刻的響應(yīng)時(shí),若外部輸入為常值,提升系統(tǒng)簡化為通常的離散系統(tǒng),故圖5中曲線1與曲線2在采樣時(shí)刻存在重合點(diǎn);而當(dāng)外部輸入為任意時(shí)變信號時(shí),由于離散系統(tǒng)理論認(rèn)為在[kh,(k+1)h)區(qū)間內(nèi),外部輸入信號為常值u(kh),卻沒有考慮連續(xù)輸入信號在[kh,(k+1)h)間內(nèi)的變化,因而相對于真實(shí)系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生


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