參數(shù)根軌跡和多回路系統(tǒng)的根軌跡

4.6.1 參數(shù)根軌跡

⒈引言

前面討論系統(tǒng)根軌跡的繪制方法時(shí)，都是以開環(huán)增益K為可變參數(shù)，這是在實(shí)際上最常見的情況。上述以開環(huán)增益K 為可變參量繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。從理論上講，可變參量可以選擇為系統(tǒng)的任何參數(shù)，如開環(huán)零、極點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)和反饋系數(shù)等，這種以K以外的系統(tǒng)其他參量作為可變參量繪制的根軌跡，稱作參數(shù)根軌跡，又稱廣義根軌跡。用參數(shù)根軌跡可以分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)，如開環(huán)零、極點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)和反饋系數(shù)等對于系統(tǒng)性能的影響。

⒉思路和方法

如果選擇系統(tǒng)其他參量為可變參量時(shí)，引入等效傳遞函數(shù)的概念，即作一個變換，使得此可變參量在等效傳遞函數(shù)中相當(dāng)于開環(huán)增益K的位置，則上面介紹的幅角、幅值條件和繪制根軌跡的各種規(guī)則都依然有效。

上述變換的方法是對系統(tǒng)的特征方程作一個除法，即以特征方程中不含有該參數(shù)項(xiàng)的各項(xiàng)去除該方程，便可得到 的形式，其中，就是要引入的等效傳遞函數(shù)。

例4-4 設(shè)反饋系統(tǒng)如圖4-16所示 ，試?yán)L制以a為參變量的根軌跡。

⑴. 常規(guī)方法

⑴. 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的特征方程為

以不含a的項(xiàng)，即，除以上式得

得等效開環(huán)傳遞函數(shù)：

式中

據(jù)此,可用“常規(guī)方法”作出其根跡，如圖4-17所示（可證明，其部分根跡為園?。?。

①.根跡的起迄點(diǎn)及條數(shù):
兩條根跡分支,分別起始于開環(huán)極點(diǎn)-1+j3、-1-j3,終止于開環(huán)零點(diǎn)0和s平面∞處。

②.實(shí)軸上的根跡：
負(fù)半實(shí)軸為根跡。

③.會合點(diǎn)：

由 。

④.復(fù)數(shù)極點(diǎn)-1+j3出射角：

⑵.“MATLAB”方法

①解本題的MATLAB程序exe44.m

% ks/(s2+2s+10)
n=[1 0]
d=[1 2 10]
rlocus(n,d)

②執(zhí)行本程序,可得圖4-17參數(shù)根軌跡圖。

4.6.2 多回路系統(tǒng)的根軌跡

1.引言

前面介紹單環(huán)系統(tǒng)根跡，不僅適合單環(huán)，而且也適合多環(huán)系統(tǒng)。

2.思路和方法

先作內(nèi)環(huán)根跡，再用幅值條件試探求出內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)，進(jìn)而作為外環(huán)的一部分開環(huán)極點(diǎn)，再畫出外環(huán)的根跡。

例4-5 設(shè)一雙環(huán)反饋系統(tǒng)，如圖4-18所示 。試?yán)L制以 c為參變量的根軌跡。

⑴.常規(guī)方法

①.先作內(nèi)環(huán)根跡:
內(nèi)環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

此與例4-1相同，這里不再重復(fù)。

②.求出 =1.06 時(shí)的內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點(diǎn)(用試探法):
由§4―3可知，為：-0.33+j0.58、 -0.33-j0.58、 -2.33

③.內(nèi)環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

④. 內(nèi)環(huán)化簡后外環(huán)的開環(huán)的傳遞函數(shù)為：

⑤.外環(huán)（系統(tǒng)）根軌跡:

·根軌跡有四條分支：

分別自0, -2.33,-033+j0.58,0.33-j0.58。至-1,-3,和s平面∞處。

·實(shí)軸上根跡：

在 0 至-1,-2至-2.33,-3至-∞是根軌跡。

·根跡漸近線：

由公式求得σα=0.5,α=±90B 。

·復(fù)數(shù)極點(diǎn)-0.33+j0.58,外的出射角：

φ=8.06B 。

·根跡與虛軸交點(diǎn)：

·系統(tǒng)外環(huán)根跡:

如圖4-19所示.

⑵.“MATLAB”方法

①.解本題的MATLAB程序exe45.m:
% k(s+1)(s+3)/s(s+0.33+0.58i)(s+0.33-0.58i)(s+2.33)
z=[-1 –3]’;
p=[0 –2.33 –0.33+0.58i –0.33-0.58i]’;
k=1;
[n,d]=zp2tf(z,p,k);
rlocus(n,d)
title(‘4-19’)

②.執(zhí)行本程序,可得外環(huán)根軌跡圖4-19。