機(jī)器人控制系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)方程
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沿著線段作移動，我們希望在標(biāo)準(zhǔn)3D笛卡爾坐標(biāo)系中工作。笛卡爾坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)由(x, y, z)表征，從直觀上說，這個坐標(biāo)系更便于進(jìn)行線段位移控制。例如，方形的運(yùn)動軌跡由4條線段組成，線段運(yùn)動就是笛卡爾坐標(biāo)系中最基本的運(yùn)動模式。問題轉(zhuǎn)化為：我們?nèi)绾卧谶@兩種坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。答案是運(yùn)動方程。運(yùn)動方程可以將笛卡爾坐標(biāo)系(x, y, z)與起重機(jī)球坐標(biāo)系(r, θ, Φ)聯(lián)系在一起。
在進(jìn)一步探討之前，讓我們快速地判斷一下，為什么這些方程是必要的。如果用戶想要在笛卡爾坐標(biāo)系下控制運(yùn)動路徑，他/她就需要確定一條由一系列(x, y, z) 坐標(biāo)位置組成的軌跡。當(dāng)使用運(yùn)動控制器時(shí)，對于很多種類的運(yùn)動，明確地指明運(yùn)動軌跡是沒有必要的。運(yùn)動控制通常產(chǎn)生一個運(yùn)動輪廓（一系列(x, y, z)坐標(biāo)位置）用于控制運(yùn)動，例如點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動就意味著笛卡爾坐標(biāo)系下的直線運(yùn)動。如果我們知道受動物體的目標(biāo)(x, y, z)位置，然后就可以反推運(yùn)動方程，運(yùn)動控制器就可以計(jì)算出如何控制實(shí)際的起重機(jī)（包括起重臂長度、傾斜角和回轉(zhuǎn)角——(r, θ, Φ)）
前向運(yùn)動方程更多地用于初次校準(zhǔn)。他們可以用于測量反饋位置，并將 (r, θ, Φ) 結(jié)果轉(zhuǎn)換為用戶更加關(guān)心的(x, y, z)坐標(biāo)。這個過程也可以用于確定安裝位置，和用于將任意位置的起重機(jī)坐標(biāo)初始化為相對的(x, y, z)坐標(biāo)。
由此可見運(yùn)動方程的必要性，現(xiàn)在就該討論如何解運(yùn)動方程了。先從反推運(yùn)動學(xué)方程開始，我們希望得到起重機(jī)的(r, θ, Φ)坐標(biāo)：
實(shí)際上依靠對球坐標(biāo)系/笛卡爾坐標(biāo)系的觀察就可以解這個等式，使用一些三角公式，可以得到如下等式：
觀察上面第三個等式，Φ是由關(guān)于r的等式表述的，而r又可由第一個等式中的(x, y, z)解出。前向運(yùn)動方程的形式類似：
通過觀察，這幾個方程同樣可以輕松解出：
更復(fù)雜的例子——6自由度Stewart六腳平臺
Stewart六腳平臺在很多場合都有應(yīng)用，包括自動檢測、機(jī)器人手術(shù)、人造衛(wèi)星和望遠(yuǎn)鏡定位以及機(jī)械仿真等等。六腳包括6個獨(dú)立的受控執(zhí)行器（長度），在一端匯聚到一個固定的基座，另一端與一平面平臺連接，允許6個自由度，(α (roll), (pitch), γ (yaw), x, y, z)。幾何學(xué)實(shí)例如圖3所示。
圖3 Stewart六軸平臺在很多場合都有應(yīng)用，包括自動檢測、機(jī)器人手術(shù)、人造衛(wèi)星和望遠(yuǎn)鏡定位以及機(jī)械仿真等等。來源: ACS Motion Control
對于此系統(tǒng)，反推運(yùn)動學(xué)方程可以告訴我們：對于給定的(α, , γ, x, y, z)，可以知道執(zhí)行器的長度(l1, l2, l3, l4, l5, l6)是多少，還可以知道姿態(tài)（P）。前向方程用于計(jì)算姿態(tài)P，用執(zhí)行器的腳長度I表示。前向運(yùn)動方程是封閉的方程組，傳統(tǒng)計(jì)算方法是不可解的。但是，可以通過使用牛頓迭代法來解此前向方程，下文將作討論。
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