機(jī)器人控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程
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為了解此系統(tǒng)的反向運(yùn)動(dòng)方程，必須確定平臺(tái)種類以及執(zhí)行器匯聚點(diǎn)的位置，因?yàn)槟_長(zhǎng)就是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離。平臺(tái)執(zhí)行器所處位置用基點(diǎn)坐標(biāo)系表示如下：
上述等式的下標(biāo)表明了向量的參考坐標(biāo)系。這里，點(diǎn)的位置實(shí)際上是齊次坐標(biāo)，以(x, y, z, w) 或者 (x/w, y/w, z/w)的形式表述，為了簡(jiǎn)化討論，這里的w我們可以令其等于1。R是變換矩陣，可以將平臺(tái)點(diǎn)（Ppi）也就是平臺(tái)系數(shù)轉(zhuǎn)換成(Bpi)，也就是基座系數(shù)。R是3×4的矩陣，包括3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣和3×1的平移矩陣。
在R等式中，“s”代表正弦函數(shù)；“c”代表余弦函數(shù)。上述等式中的旋轉(zhuǎn)矩陣是單位矩陣，用來變換roll、pitch和yaw三個(gè)向量的方向。平移矩陣就是一個(gè)簡(jiǎn)單的向量。由于（Bbi）的值是已知的，所以一旦知道了(Bpi)的值，就可以通過計(jì)算兩點(diǎn)的距離得到腳的長(zhǎng)度。
上面的等式實(shí)際上很簡(jiǎn)單，但是由于引入了矩陣?yán)碚?，所以有很多?xiàng)。下面是最終的反向運(yùn)動(dòng)方程（對(duì)于腳“i”）。
此系統(tǒng)的前向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程相對(duì)復(fù)雜一些，由于處理上的要求，前向方程也不容易解。這里，比直接解方程更好的方法是使用迭代法，初始估計(jì)值代入方程、更新，然后重復(fù)，直到估計(jì)值的誤差小于某一限定值。具體的計(jì)算方法在此就不再贅述，此方法對(duì)于以下的過程都可以通用。此方法是前文提及的牛頓迭代法的推廣。關(guān)于此方法有很多相關(guān)文章，本文在此著重討論前向運(yùn)動(dòng)方程的應(yīng)用。第一步是估計(jì)初始姿態(tài)K，或者換種說法，估計(jì)(α , , γ, x, y, z)的值。對(duì)于一個(gè)運(yùn)動(dòng)控制器，初始估計(jì)值通常是(α , , γ, x, y, z)的受控位置。從此估計(jì)值，反推運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可以計(jì)算出執(zhí)行器的長(zhǎng)度，稱之為 (g1, g2, g3, g4, g5, g6) ，或者以向量的形式寫成g.，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：g = I(k)。
然后，基于估計(jì)值算出的長(zhǎng)度與來自反饋設(shè)備的實(shí)際長(zhǎng)度I相比較，得到“估值誤差”e，可以寫成e = g – l。
如果估值誤差小于某一個(gè)限定值，那么此過程就此結(jié)束。如果估值誤差不小于這個(gè)限定值，那么，就需要一個(gè)更好的估計(jì)值。這個(gè)過程一直重復(fù)，直到估計(jì)值足夠完美（此時(shí)，這個(gè)估計(jì)值就被作為方程的解?。榱死斫馊绾螐臄?shù)學(xué)上確定一個(gè)“更好的估計(jì)值”，首先考慮下面這個(gè)簡(jiǎn)單的微積分學(xué)例子。假設(shè)我們有一個(gè)通用函數(shù)y = f(x)，f是非線性的。如果我們要計(jì)算由x的變化所導(dǎo)致的y的變化，下面的等式有效：
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