傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換最全攻略

　　傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換之間最本質(zhì)的區(qū)別

　　傅里葉變換簡(jiǎn)單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號(hào)考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦(余弦)信號(hào)組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦(余弦)信號(hào)中振幅較大(能量較高)信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無章的信號(hào)中的主要振動(dòng)頻率特點(diǎn)。

　　拉普拉斯變換

　　定義式：設(shè)有一時(shí)間函數(shù)f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞單邊函數(shù) ,其中，S=σ+jω 是復(fù)參變量，稱為復(fù)頻率。左端的定積分稱為拉普拉斯積分，又稱為f(t)的拉普拉斯變換;

　　右端的F(S)是拉普拉斯積分的結(jié)果，此積分把時(shí)域中的單邊函數(shù)f(t)變換為以復(fù)頻率S為自變量的復(fù)頻域函數(shù)F(S)，稱為f(t)的拉普拉斯象函數(shù)。

　　以上的拉普拉斯變換是對(duì)單邊函數(shù)的拉普拉斯變換，稱為單邊拉普拉斯變換。

　　如f(t)是定義在整個(gè)時(shí)間軸上的函數(shù)，可將其乘以單位階躍函數(shù)，即變?yōu)閒(t)ε(t)，則拉普拉斯變換為F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt

　　其中積分下標(biāo)取0-而不是0或0+ ，是為了將沖激函數(shù)δ(t)及其導(dǎo)函數(shù)納入拉普拉斯變換的范圍。

　　z變換可將分散的信號(hào)(現(xiàn)在主要用于數(shù)字信號(hào))從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域。作用和拉普拉斯變換(將連續(xù)的信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域)是一樣的。

　　拉普拉斯變換是將時(shí)域信號(hào)變換到“復(fù)頻域”，與傅里葉變換的“頻域”有所區(qū)別。

　　FT[f(t)]=從負(fù)無窮到正無窮對(duì)[f(t)exp(-jwt)]積分 ,LT[f(t)]=從零到正無窮對(duì)[f(t)exp(-st)]積分 ,(由于實(shí)際應(yīng)用，通常只做單邊拉普拉斯變換 ，即積分從零開始) .具體地，在傅里葉積分變換中，所乘因子為exp(-jwt)，此處，-jwt顯然是為一純虛數(shù);而在拉普拉斯變換 中，所乘因子為exp(-st)，其中s為一復(fù)數(shù)：s=D+jw,jw是為虛部，相當(dāng)于Fourier變換中的jwt，而D則是實(shí)部，作為衰減因子，這樣就能將許多無法作Fourier變換的函數(shù)(比如exp(at),a>0)做域變換。 拉普拉斯變換 主要用于電路分析，作為解微分方程的強(qiáng)有力工具(將微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘除運(yùn)算)。但隨著CAD的興起，這一作用已不怎么受重視了，但關(guān)于其收斂域的分析(零極點(diǎn)圖)依然常用。 Fourier變換則隨著FFT算法(快速傅立葉變換)的發(fā)展已經(jīng)成為最重要的數(shù)學(xué)工具應(yīng)用于數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域。

　　而Z變換，簡(jiǎn)單地說，就是離散信號(hào)(也可以叫做序列)的拉普拉斯變換 ，可由抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換 導(dǎo)出(如果你想要更多，我可以導(dǎo)給你看)，表示式如下：

　　ZT[f(n)]=從n為負(fù)無窮到正無窮對(duì)[f(n)Z^(-n)]求和 ,其所變換的域稱之為“Z域”。

　　傅立葉變換是拉普拉斯變換的一種特例，在拉普拉斯變換中，只要令Re[s]=1,就得到傅立葉變換。當(dāng)然，兩者可以轉(zhuǎn)換的前提是信號(hào)的拉普拉斯變換的收斂域要包含單位圓(即包含圓周上的點(diǎn))。

　　很多信號(hào)都不一定有傅立葉變換，因?yàn)榈伊死讞l件比較苛刻，而絕大多數(shù)信號(hào)都有拉普拉斯變換。故對(duì)于連續(xù)信號(hào)，拉普拉斯變換比傅立葉變換用得更廣泛。

　　兩者的共同點(diǎn)：都把時(shí)域函數(shù)轉(zhuǎn)換為頻域函數(shù)(對(duì)于拉普拉斯變換來說，是轉(zhuǎn)到復(fù)頻域上)。另外，兩者都能很方便地解出低階微分方程。

　　這三種變換的本質(zhì)是將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換為頻域。傅里葉變換的出現(xiàn)顛覆了人類對(duì)世界的認(rèn)知：世界不僅可以看作雖時(shí)間的變化，也可以看做各種頻率不同加權(quán)的組合。舉個(gè)不太恰當(dāng)?shù)睦樱阂皇卒撉偾穆曇舨ㄐ问菚r(shí)域表達(dá)，而他的鋼琴譜則是頻域表達(dá)。

　　三種變換由于可以將微分方程或者差分方程轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式方程，所以大大降低了微分(差分)方程的計(jì)算成本。

　　另外，在通信領(lǐng)域，沒有信號(hào)的頻域分析，將很難在時(shí)域理解一個(gè)信號(hào)。因?yàn)橥ㄐ蓬I(lǐng)域中經(jīng)常需要用頻率劃分信道，所以一個(gè)信號(hào)的頻域特性要比時(shí)域特性重要的多。

　　具體三種變換的分析(應(yīng)該是四種)是這樣的：

　　傅里葉分析包含傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換。傅里葉級(jí)數(shù)用于對(duì)周期信號(hào)轉(zhuǎn)換，傅里葉變換用于對(duì)非周期信號(hào)轉(zhuǎn)換。

　　但是對(duì)于不收斂信號(hào)，傅里葉變換無能為力，只能借助拉普拉斯變換。(主要用于計(jì)算微分方程)

　　而z變換則可以算作離散的拉普拉斯變換。(主要用于計(jì)算差分方程)

　　從復(fù)平面來說，傅里葉分析直注意虛數(shù)部分，拉普拉斯變換則關(guān)注全部復(fù)平面，而z變換則是將拉普拉斯的復(fù)平面投影到z平面，將虛軸變?yōu)橐粋€(gè)圓環(huán)。(不恰當(dāng)?shù)谋确骄褪悄欠N一幅畫只能通過在固定位置放一個(gè)金屬棒，從金屬棒反光才能看清這幅畫的人物那種感覺。)