基于極零點(diǎn)靈敏度的模擬電路可測(cè)性分析

　　引言

　　基于極零點(diǎn)靈敏度的分析方法與基于頻域的靈敏度分析不同，不需要計(jì)算頻域任意范圍內(nèi)的每一點(diǎn)的靈敏度，同時(shí)克服了分析幅頻特性和相頻特性的問(wèn)題。其特點(diǎn)決定其在模擬電路分析和測(cè)試中有極大的應(yīng)用空間。

　　模擬電路的測(cè)試設(shè)計(jì)在模擬電路設(shè)計(jì)成本中占據(jù)了極大的比例。與數(shù)字電路不同，模擬電路有大量的性能指標(biāo)和電路參數(shù)，而且性能指標(biāo)與參數(shù)之間又沒有直接的線性關(guān)系，同時(shí)，性能指標(biāo)和參數(shù)與系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)之問(wèn)也不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。因此，即使是簡(jiǎn)單的電路，要確定其測(cè)試的方法和參數(shù)，也是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題。其中，一個(gè)重要的問(wèn)題是，怎樣確定可測(cè)量的參數(shù)和測(cè)量點(diǎn)，即可測(cè)性[1-3]。

　　在狀態(tài)方程中，系統(tǒng)的可觀測(cè)性為系統(tǒng)測(cè)試提供了很好的判斷依據(jù)。然而，它只提供狀態(tài)可測(cè)性，而系統(tǒng)的狀態(tài)往往少于系統(tǒng)元件數(shù)量。因而，由狀態(tài)方程不能確定電路的所有元件的可測(cè)性。

　　模擬電路的極零點(diǎn)對(duì)電路性能參數(shù)有極大的影響，特別是不同測(cè)試點(diǎn)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)往往具有不同的零點(diǎn)。因而，電路極零點(diǎn)靈敏度可以用于電路可測(cè)性分析。

　　1 極零點(diǎn)靈敏度計(jì)算

　　設(shè)模擬電路的系統(tǒng)函數(shù)為H(s，h)，h為與該網(wǎng)絡(luò)某元件有關(guān)的參數(shù)，它可以是元件值，或是影響元件值的一些物理量。當(dāng)參數(shù)h在標(biāo)稱值h0附加有微小變化△h=h-h0時(shí)[4]，將H(s，h)在h0附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，并忽略高次項(xiàng)，得到由△h引起的偏差為：

　　由此得到系統(tǒng)函數(shù)H(s，h)相對(duì)于參數(shù)h的未歸一化靈敏度為：

　　網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s，h)相對(duì)于參數(shù)^的歸一化靈敏度(簡(jiǎn)稱靈敏度)為：

　　系統(tǒng)函數(shù)的一般形式為[5]：

　　將傳遞函數(shù)的分子和分母進(jìn)行因式分解，得到如下形式：

　　式中：zi和pi分別是系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。

　　1.1 零點(diǎn)靈敏度

　　在系統(tǒng)零點(diǎn)zi處，與復(fù)頻域s和參數(shù)h相關(guān)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)等于0，即

　　參數(shù)h被視為獨(dú)立變量，zi為非獨(dú)立變量?；阪?zhǔn)揭?guī)則，對(duì)式(6)求微分得到：

　　零點(diǎn)的靈敏度為：

　　1.2 極點(diǎn)靈敏度

　　由于系統(tǒng)矩陣在極點(diǎn)pi處變成奇異的，極點(diǎn)靈敏度不能像零點(diǎn)靈敏度一樣計(jì)算。系統(tǒng)矩陣Y分解為下、上三角矩陣Y=LU。對(duì)應(yīng)于參數(shù)h的微分得到：

　　將式(9)左乘X和右乘X的伴隨矩陣(Xa)t，得到標(biāo)量方程：

　　矢量定義為下式的解：

　　將上兩式代入式(10)，得到：

　　L是下三角矩陣，乘積(?L/?h)』。變?yōu)橐粋€(gè)矢量，

　　其元素除最后一個(gè)為διnn/δh外，都為0，即(δL/δh)，In=(διnn/δh)In。該矢量左乘(Xa)t，乘積中只有其最后一個(gè)元素Xan=1出現(xiàn)。而當(dāng)U為上三角矩陣且unn=l時(shí)，δU/δh將變?yōu)榱闶噶?。由上述步驟得到：

　　這是計(jì)算極點(diǎn)靈敏度的基本方程。將式(12)代人式(3)，極點(diǎn)pi的靈敏度變?yōu)椋?/P>

　　式(13)與式(8)類似。

　　通常，極零點(diǎn)靈敏度由規(guī)范化方式表示：

　　如果極點(diǎn)用實(shí)部和虛部給出，p=σ+jω，規(guī)范化靈敏度變?yōu)椋?/P>

　　基于極零點(diǎn)靈敏度，也可以計(jì)算Q因子和極點(diǎn)頻率靈敏度。

　　2　可測(cè)性度量

　　可測(cè)性度量定義為在電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和給定的測(cè)試點(diǎn)條件下，被測(cè)電路可解性度量的數(shù)量信息。因此，可測(cè)性度量可以衡量在某種測(cè)試條件下可由測(cè)試數(shù)據(jù)確定的電路元素的數(shù)目。顯然，這是一種重要的參數(shù)。

　　被測(cè)電路的傳遞函數(shù)可以寫成分解形式為：

　　式中：傳遞函數(shù)的直流增益K0，極點(diǎn)pi和零點(diǎn)zι是電路元素hi的函數(shù);i=1，2，…，k;k是電路元素的數(shù)量，假定系統(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)互異(它們都不相同)。

　　基于式(16)的可測(cè)性分為3個(gè)部分：

　　a)僅僅依賴于傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，即僅僅依賴于電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而與輸入信號(hào)和電路(測(cè)試)節(jié)點(diǎn)無(wú)關(guān)。稱這一部分可測(cè)性度量為Tp?？蓽y(cè)性TP由下式給出：

　　式中：n為傳遞函數(shù)極點(diǎn)的數(shù)量。

　　傳遞函數(shù)極點(diǎn)數(shù)與電路的階次相同，由下式給出：

　　式中：nLC為儲(chǔ)能元件的總數(shù);nC為獨(dú)立電容環(huán)路的總數(shù);nL為獨(dú)立電感割集的總數(shù)。

　　b)依賴于傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，稱這一部分可測(cè)性度量為TZ，由下式給出：

　　式中，m為零點(diǎn)的數(shù)量。

　　c)依賴于傳遞函數(shù)的直流增益K0=a0/b0(s→0)，稱為Tk0：

　　如果直流增益是電路元素的函數(shù)，則c=1，否則，c=0。c的值可以使用直流靈敏度計(jì)算。如果某一電路節(jié)點(diǎn)的直流靈敏度不等于0，則c=1，否則c=0。

　　被測(cè)電路在一個(gè)節(jié)點(diǎn)的總的可測(cè)性度量Tt等于3個(gè)可測(cè)性度量的和，即

　　式(21)表明：被測(cè)電路在某一點(diǎn)的町測(cè)性度量依賴于該點(diǎn)的極點(diǎn)數(shù)目、零點(diǎn)數(shù)目和直流增益K0。

　　如果節(jié)點(diǎn)不止一個(gè)，可測(cè)性度量由下式給出：

　　式中：n為極點(diǎn)的數(shù)量;m1，m2，…，mt分別為節(jié)點(diǎn)1，2，…，ι的零點(diǎn);c1，c2，…，ct分別為節(jié)點(diǎn)1，2，…，ι的直流增益;ι為電路節(jié)點(diǎn)的數(shù)目。

　　可測(cè)性可以用于指導(dǎo)測(cè)試節(jié)點(diǎn)選擇。如果電路元素的數(shù)日等于極點(diǎn)數(shù)日和零點(diǎn)數(shù)目加1，就得到了最大可測(cè)性度量(所有電路元素都可識(shí)別)。如果電路有e個(gè)元件，在節(jié)點(diǎn)i處的可測(cè)性度量為Tt=r(r<e)，這樣僅有r個(gè)元素可以識(shí)別，而e-r個(gè)元素必須假定無(wú)故障(低可測(cè)性電路)。
在節(jié)點(diǎn)i處的可測(cè)性度量為Tt=r(r<e)，這樣僅有r個(gè)元素可以識(shí)別，而e-r個(gè)元素必須假定無(wú)故障(低可測(cè)性電路)。

　　3 極零點(diǎn)靈敏度分析實(shí)例

　　為了描述基于極零點(diǎn)分析的可測(cè)性度量，作為一個(gè)例子，現(xiàn)給出如圖1所示的3-RC梯形電路。

　　基于改進(jìn)節(jié)點(diǎn)分析，電路的系統(tǒng)方程可以寫為：

　　在電路節(jié)點(diǎn)4、節(jié)點(diǎn)3、節(jié)點(diǎn)2(V1=Vi，V4=V0)的傳遞函數(shù)為：

　　由此可以得到傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為：p1=-1981，p2=-1 555，p3=-3 247;在節(jié)點(diǎn)2，傳遞函數(shù)的零點(diǎn)為：z1=-382，z2=-2 618;在節(jié)點(diǎn)3，傳遞函數(shù)的零點(diǎn)為：z3=-1 000。相應(yīng)的極零點(diǎn)靈敏度見表1。

　　由于直流增益與元件的取值無(wú)關(guān)(電容不能短路)，因而Tk0=0。

　　由表1可知，Tp=3;在節(jié)點(diǎn)4，Tzm1=0;在節(jié)點(diǎn)3，Tzm2=1;在節(jié)點(diǎn)2，Tzm3=2。進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)：在節(jié)點(diǎn)4，Tt=3;在節(jié)點(diǎn)4和3處，Tt=4;在節(jié)點(diǎn)4和2處，Tt=5;在節(jié)點(diǎn)3和2處，Tt=6;在節(jié)點(diǎn)4、3和2處，Tt=6。也就是說(shuō)，要能測(cè)試6個(gè)元素，至少必須選擇節(jié)點(diǎn)3和2為測(cè)試點(diǎn)。

　　4 結(jié)束語(yǔ)

　　基于極零點(diǎn)靈敏度的可測(cè)性分析，為建立電路測(cè)試模型、確定測(cè)試點(diǎn)、分析測(cè)試方法提供了極大的方便。特別是當(dāng)模擬和混合電路有大量的性能指標(biāo)，在如何利用這些性能指標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)測(cè)試時(shí)，顯得尤為突出。