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三維矢量散射積分方程中奇異性的分析及求解方法介紹

作者: 時(shí)間:2012-09-11 來源:網(wǎng)絡(luò) 收藏

上式就是電場的主值.不難看出式(1)和(11)的區(qū)別僅為:主值的積分域不含有奇點(diǎn),因此可用經(jīng)典函數(shù)論的其積分值收斂趨勢.于是,阻抗元素計(jì)算式(4)可改寫為:

本文引用地址:http://butianyuan.cn/article/153957.htm

g69-8.gif (2201 bytes)

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfts69-2.gif (94 bytes)sself=sq∩sp,Δsself→0 (12)
由式(12)可知,在關(guān)于場點(diǎn)和源點(diǎn)的面積分中,被積函數(shù)包含了兩項(xiàng):

g69-9.gif (1718 bytes) (13)
g69-10.gif (1399 bytes) (14)

阻抗矩陣計(jì)算式(4)和(12)可分別簡寫為:

g69-11.gif (1956 bytes) (15)

g69-12.gif (2031 bytes) (16)

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfts69-2.gif (94 bytes)sself=sq∩sp,Δsslef→0.
  式(15),(16)都能用來矩陣自阻抗元素.但式(16)對源點(diǎn)使用主值積分,便于數(shù)值.兩式中,I1=I′1,I2=I′2.為方便計(jì),選擇其中的I1和I′2.

三、奇異項(xiàng)轉(zhuǎn)移
  在式(13)中,僅包含弱奇的Abel積分核[7].一般來講,對于這類積分,數(shù)值計(jì)算時(shí)只要分格越細(xì)(不取奇點(diǎn)),所得的數(shù)值結(jié)果就越精確.但計(jì)算量增加.若取較少的節(jié)點(diǎn),則由于被積函數(shù)在奇點(diǎn)附近變化劇烈,導(dǎo)致誤差增大.所以必須尋找一種在數(shù)值計(jì)算上實(shí)際可行的方案.處理這類奇異積分的之一是奇異轉(zhuǎn)移法[1].本文將這種方法進(jìn)行了推廣,以便解決式(13)那樣的奇異問題.經(jīng)過簡單的數(shù)學(xué)處理,得:

g69-13.gif (3705 bytes) (17)

在上式中,第一項(xiàng)被積函數(shù)在積分域是連續(xù)有限的,因此數(shù)值可積.在第二項(xiàng)積分中,因子f1(r,r)只與場點(diǎn)有關(guān),故可提到積分號外,因此簡化了奇異項(xiàng)以便于使用積分的解析解:

g69-14.gif (3602 bytes)

式中R0=
g69-15.gif (1017 bytes) (19)

四、挖除有限小塊法
  下面討論I′2的數(shù)值積分.積分項(xiàng)I′2不包含奇點(diǎn),其被積函數(shù)F2(r,r′)在積分域上是解析的.但在奇點(diǎn)r附近,由于F2(r,r′)隨r′的變化非常劇烈,用一般的數(shù)值求積是很困難的.
  用一有限小曲面塊ΔS包圍奇點(diǎn)(ΔSts69-2.gif (94 bytes)sp),并設(shè)F2(r,r′)的陡變部分在ΔS中.取Δs0=ΔS-Δsself.在實(shí)際空間中,Δs0對應(yīng)于一很小的曲面塊,即Δs01.而在參數(shù)空間中,Δs0則為一很小的矩形塊,其長為Δu1,寬為Δu2,如圖1.這時(shí)I′2變?yōu)椋?/span>

g70-1.gif (1896 bytes) (20)

式中第一項(xiàng)不含陡變部分,所以可用一般的數(shù)值求積方法計(jì)算.第二項(xiàng)不含奇點(diǎn),可以得到解析結(jié)果.

t70-1.gif (3067 bytes)

圖1 挖除有很小塊Δs0.(a)參數(shù)空間對應(yīng)的矩形有限小塊,矩形中點(diǎn)為奇異點(diǎn)(u1,u2);(b)實(shí)空間對應(yīng)的有限小塊Δs0;(c)參數(shù)空間中,奇異點(diǎn)(u1,u2)平移到原點(diǎn)0后,矩形有限小塊的極坐標(biāo)圖

  由式(14)可知,由于含有隨源空間r′變化的幾何因子g70-2.gif (359 bytes)和jp(r′)含有的因子1/g70-2.gif (359 bytes)相互抵消,簡化了求積運(yùn)算.于是,式(14)簡化為:

g70-3.gif (1103 bytes) (21)

  在上式中,A(r)為不隨源點(diǎn)變化的因子,而且

g70-4.gif (1124 bytes) (22)
g70-5.gif (713 bytes) (23)

  當(dāng)Δs01,有R0≈R.
  由圖1可知,在參數(shù)空間中,Δs0的中點(diǎn)恰好位于奇點(diǎn)上,故I22中對源點(diǎn)的積分域關(guān)于奇點(diǎn)對稱,這將為求積帶來方便.若作一平移,使坐標(biāo)原點(diǎn)與奇點(diǎn)重合(如圖1所示),不難證明I22值為零.
  因

g70-6.gif (1454 bytes) (24)

其中,g70-7.gif (879 bytes) (25)
從而有:SSG(R0)=SSG(R0(ρ,θ))=SSG(R0(ρ,θ+π)) (26)
g70-8.gif (580 bytes) (27)
于是I22則可寫為:

g70-9.gif (1491 bytes) (28)

把式(26),(27)代入式(28),化簡后得I22=0.于是式(20)變成:I′2=I21+0=I21.從上述可知,分離的小塊域?qū)Ψe分無貢獻(xiàn).所以,在實(shí)際計(jì)算中,可以方便地使用數(shù)值求積方法計(jì)算I′2,并令場點(diǎn)等于源點(diǎn)時(shí)的積分為零.



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