標(biāo)準(zhǔn)正交基應(yīng)用于通信原理課程的教學(xué)研究

摘要：通信原理是一門具有很強(qiáng)物理意義的專業(yè)理論課，因其內(nèi)容抽象而繁雜，給教學(xué)帶來了一定的困難?；谡辖虒W(xué)內(nèi)容的目的，本文探討了將眾多調(diào)制方式(包括模擬調(diào)制和數(shù)字調(diào)制)統(tǒng)一為正交調(diào)制模型的教學(xué)方案。為了在滿足教學(xué)要求的前提下降低教學(xué)難度，提出了用MATLAB進(jìn)行仿真演示的教學(xué)方法。教學(xué)實(shí)踐證明，該教改方案不僅達(dá)到了有效整合課程內(nèi)容的目的，而且通過使用信息工具將抽象知識(shí)具體化、直觀化的這一途徑使得教學(xué)質(zhì)量得到了提高。
關(guān)鍵詞：向量空間；標(biāo)準(zhǔn)正交基；信號(hào)空間；調(diào)制解調(diào)；MATLAB

2009年1月，教育部高教司設(shè)立了“利用信息技術(shù)工具改造課程”項(xiàng)目，“用MATLAB和建模實(shí)踐改造工科線性代數(shù)課程”是其中一個(gè)子項(xiàng)目。而“需求牽引”和“技術(shù)推動(dòng)”正是此項(xiàng)目改革的動(dòng)力。是的，后續(xù)課程的需求是什么?采用MATLAB軟件如何增強(qiáng)教學(xué)?這是當(dāng)前線性代數(shù)課程教育者必須思考的。
我校作為參與此項(xiàng)目院校之一，教改也取得了顯著成果，得到了專家、教師和學(xué)生的支持，給予很高的評(píng)價(jià)，但是如何將線性代數(shù)在工科教育中的重要作用進(jìn)一步發(fā)揮出來呢?工科線性代數(shù)改革的主要目的不是在于課程自身，而是對(duì)后續(xù)課程產(chǎn)生輻射，推動(dòng)各種有關(guān)的后續(xù)課乃至整個(gè)教學(xué)計(jì)劃的改革和現(xiàn)代化。
基于此，本文針對(duì)通信原理課程內(nèi)容雜而多，難教難學(xué)的特點(diǎn)，以此課程中調(diào)制內(nèi)容為例，探討了現(xiàn)有教學(xué)中存在的問題，提出了將線性代數(shù)中向量空間及標(biāo)準(zhǔn)正交基的知識(shí)與調(diào)制內(nèi)容進(jìn)行深度結(jié)合，并將MATLAB運(yùn)用于教學(xué)的解決方案。

1 通信原理課程教學(xué)現(xiàn)狀
通信原理課程是通信工程、電子信息工程等本科專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課。在實(shí)際教學(xué)中，本科院校一般都是選用國(guó)內(nèi)一些優(yōu)秀教材，這些教材內(nèi)容選取大同小異。一般由隨機(jī)過程、信道與噪聲、模擬調(diào)制系統(tǒng)、數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)、數(shù)字頻帶傳輸系統(tǒng)、模擬信號(hào)的數(shù)字傳輸系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)的最佳接收、同步原理、差錯(cuò)控制編碼這些內(nèi)容組成。由于其具有很強(qiáng)的理論性、系統(tǒng)性和物理性，內(nèi)容雜而多，很多學(xué)生反映“亂”，而就每一章來說，能聽懂，會(huì)做題，但沒有課程的整體思路?，F(xiàn)以調(diào)制部分的教學(xué)為例，討論難教難學(xué)的原因。原因一，調(diào)制方式多、數(shù)學(xué)表達(dá)式多。在大多數(shù)通信原理教材中將調(diào)制分為兩部分，一部分是模擬調(diào)制，包括有AM、DSB、SSB、VSB等；另一部分是數(shù)字調(diào)制，包括有二進(jìn)制或多進(jìn)制的ASK、FSK、PSK以及QAM、MSK、GMSK等。不同的調(diào)制方式有著不同的數(shù)學(xué)表達(dá)式。盡管在教學(xué)中不斷強(qiáng)調(diào)，不論是模擬調(diào)制還是數(shù)字調(diào)制都是圍繞幅度調(diào)制、頻率調(diào)制、相位調(diào)制3類基本調(diào)制展開的，本質(zhì)是一樣的。但是在理論學(xué)習(xí)過程中，眾多的調(diào)制方式、數(shù)學(xué)表達(dá)式仍然讓學(xué)生感到混亂、難理解。原因二，知識(shí)抽象，有很強(qiáng)的物理性。調(diào)制在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，但是學(xué)生學(xué)習(xí)這部分常常會(huì)感到，即使能將每個(gè)調(diào)制方式的表達(dá)式記住，卻不知如何用；題目中已知條件給了不少，卻弄不清楚是什么意思；面對(duì)實(shí)際問題，不知如何分析，如何實(shí)現(xiàn)。這些都是南于知識(shí)抽象，不理解公式和物理量的物理意義所造成的。如何解決或改善上述兩個(gè)問題呢?首先，如果能將紛雜的調(diào)制方式統(tǒng)一為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，換句話說，就是可以用一個(gè)通用的數(shù)學(xué)模型分析所有模擬和數(shù)字調(diào)制方式，那么可以改善甚至解決第一個(gè)問題。其次，如果能將MATLAB用于教學(xué)，通過仿真將抽象知識(shí)直觀化、具體化，那么可以解決上述第二個(gè)問題。以下討論具體解決問題的方案。首先介紹調(diào)制方式的數(shù)學(xué)模型如何統(tǒng)一。

2 調(diào)制數(shù)學(xué)模型的統(tǒng)一
為解決調(diào)制方式多，數(shù)學(xué)表達(dá)式繁雜給教學(xué)帶來的困難，現(xiàn)將線性代數(shù)中向量空間和標(biāo)準(zhǔn)正交基概念引入，通過闡述向量空間和信號(hào)空間的關(guān)系，將標(biāo)準(zhǔn)正交基和通信原理課程中的調(diào)制內(nèi)容結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)調(diào)制方式數(shù)學(xué)模型的統(tǒng)一。
2．1 向量空間與信號(hào)空間的聯(lián)系
向量空間就是線性代數(shù)中一個(gè)核心概念。掌握有限維向量空間，將其擴(kuò)展到信號(hào)空間，這一點(diǎn)對(duì)于應(yīng)用數(shù)學(xué)研究者是非常重要的。
2．1．1 向量空間
根據(jù)向量空間定義，可以獲知以下信息：1)向量空間是滿足某種運(yùn)算關(guān)系的向量的集合：2)在n維向量空間中線性無關(guān)的n個(gè)向量構(gòu)成的向量集合就是向量空間的一個(gè)基；3)基是生成向量空間的最基本的向量集合，空間中的任意一個(gè)向量都可以由基線性組合得到；4)在Euclid空間引入標(biāo)準(zhǔn)正交基對(duì)于揭示空間結(jié)構(gòu)、簡(jiǎn)化表述非常有利。

此概念具有非常直觀的幾何意義。例如在二維向量空間中的體現(xiàn)如圖1所示。其中向量e1=[1，0]T，e2=[0，1]T。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義可知，e1、e2是二維向量空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。那么，二維向量空間中的任意一個(gè)向量都可以由e1、e2線性組合得到。如x=k1e1+k2e2，其中是實(shí)常數(shù)。
2．1．2 信號(hào)空間
根據(jù)信號(hào)空間定義可知，信號(hào)空間是由信號(hào)構(gòu)成的Hilbert空間或線性空間。也就是說，信號(hào)空間也是滿足一定條件的集合，其元素是信號(hào)。如前所述，向量空間是由向量構(gòu)成的線性空間。由此可以看出：信號(hào)空間與向量空間本質(zhì)相同，均是滿足一定條件的集合，只是集合中的元素不同。若將向量空間中的元素向量換成信號(hào)，便是信號(hào)空間。那么，向量空間中基的概念可以推廣到信號(hào)空間：1)兩兩正交且能量均為1的信號(hào)集合是信號(hào)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基或歸一化正交基。2)由基組合而成的信號(hào)組成的集合便是信號(hào)空間。換言之，信號(hào)空間中的任意一個(gè)信號(hào)都可以由基組合得到。當(dāng)信號(hào)空間中的基給定時(shí)，空間中信號(hào)的位置完全由組合系數(shù)構(gòu)成的向量決定。
根據(jù)函數(shù)正交和正交函數(shù)集定義可知，sin(ωct)和cos(ωct)互為正交函數(shù)，由上述討論顯然可以看出，sin(ωct)和cos(ωct)可以看作二維信號(hào)空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么二維信號(hào)空間中的任意一個(gè)信號(hào)s(t)均可以由基線性組合得到。
2．2 正交調(diào)制原理
在通信中，基帶信號(hào)不能直接送入實(shí)際信道進(jìn)行傳輸，為了更好地適應(yīng)信號(hào)傳輸通道的頻率特性，必須用基帶信號(hào)對(duì)載波進(jìn)行調(diào)制來完成信號(hào)傳輸。在通信發(fā)展的過程中，隨著技術(shù)的不斷進(jìn)步，衍生出很多種調(diào)制解調(diào)方式，它們之間的不同之處在于用待傳輸信號(hào)去控制載波的不同參數(shù)，例如載波的幅度、頻率、相位或者它們的組合。已知已調(diào)信號(hào)的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

根據(jù)上面討論可知，sin(ωct)和cos(ωct)是二維信號(hào)空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么(2)式顯然可以理解為：已調(diào)信號(hào)s(t)是sin(ωct)和cos(ωct)線性組合。另外在(3)式中可以看到，I(t)、Q(t)包含了調(diào)制信號(hào)的幅度信息和相位信息。這就意味著，只要確定了I(t)、Q(t)，便可以實(shí)現(xiàn)各種調(diào)制方式。因此，調(diào)制過程，等價(jià)于根據(jù)待傳輸?shù)幕鶐盘?hào)獲得同相分量I(t)和正交分量Q(t)后，對(duì)基函數(shù)cos(ωct)、sin(ωct)進(jìn)行線性組合的過程。進(jìn)一步，解調(diào)的過程即為從已調(diào)信號(hào)中提取I(t)、Q(t)并由其生成基帶信號(hào)的過程。