基于Matlab的FIR型希爾伯特變換器設(shè)計(jì)

摘要：在通信系統(tǒng)中，希爾伯特變換是被廣泛應(yīng)用的重要變換。為了實(shí)現(xiàn)數(shù)字解調(diào)，通常需要借助希爾伯特變換器對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，利用Matlab設(shè)計(jì)希爾伯特變換器是一種最為快捷、有效的方法。通過(guò)具體的設(shè)計(jì)、仿真及對(duì)原始信號(hào)和經(jīng)過(guò)希爾伯特變換器輸出延遲信號(hào)的比較，說(shuō)明Matlab是一個(gè)在濾波器設(shè)計(jì)方面很有力的工具。
關(guān)鍵詞：Matlab；Hilbert變換器；remez；FDATool工具

0 引言
通信系統(tǒng)中，經(jīng)常需要對(duì)一個(gè)信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為同相分量和正交分量。由于希爾伯特變換可以提供90°的相位變化而不影響頻譜分量的幅度，即對(duì)信號(hào)進(jìn)行希爾伯特變換就相當(dāng)于對(duì)該信號(hào)進(jìn)行正交移相，使它成為自身的正交對(duì)。因此，希爾伯特變換在通信領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用。
在傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，希爾伯特變換器可由一個(gè)FIR濾波器和一個(gè)時(shí)延模塊實(shí)現(xiàn)，也可由一組濾波器對(duì)實(shí)現(xiàn)，而實(shí)現(xiàn)FIR型希爾伯特變換器的一個(gè)簡(jiǎn)單方法就是對(duì)原型低通濾波器作正弦／余弦變換。但是，無(wú)論哪種方法都需要通過(guò)計(jì)算對(duì)低通濾波器的系數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，其計(jì)算繁瑣且存在一定的誤差。Matlab作為濾波器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)軟件，不僅可以快速有效地實(shí)現(xiàn)希爾伯特變換器的設(shè)計(jì)、分析仿真和最優(yōu)化，而且可以直接計(jì)算出希爾伯特變換器的系數(shù)，加之Matlab具有強(qiáng)大的接口功能，為后續(xù)的設(shè)計(jì)提供了方便。

1 希爾伯特變換器的基本原理
連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的希爾伯特變換定義為：

由式(1)可得單位沖擊響應(yīng)h(t)=1／(πt)，由于jh(t)=j／(πt)的傅里葉變換是符號(hào)函數(shù)sgn(w)，所以希爾伯特變換器的頻率特性為：

信號(hào)x(t)的希爾伯特變換可以看成是信號(hào)x(t)通過(guò)一個(gè)幅度為1的全通濾波器輸出，信號(hào)通過(guò)希爾伯特變換器后，其負(fù)頻率成分作+90°的相移，而正頻率成分作-90°的相移。
這類濾波器要求濾波器的零頻響應(yīng)為0，若濾波器階數(shù)為偶數(shù)，則還要求Nyquist頻率(歸一化頻率為1)處的響應(yīng)為0。即如果濾波器的階數(shù)為偶數(shù)，那么增益在頻率為0 Hz和fs／2處必須降為零，希爾伯特濾波器必須是一個(gè)帶通濾波器。如果濾波器的階數(shù)為奇數(shù)，那么增益在頻率為0 Hz處必須降為零，希爾伯特濾波器必須是一個(gè)高通濾波器。

2 希爾伯特變換器的Matlab設(shè)計(jì)
2．1 直接程序法
Matlab信號(hào)處理工具箱提供了firls函數(shù)和remez函數(shù)，它們的調(diào)用格式語(yǔ)法規(guī)則相同，只是優(yōu)化算法不同，函數(shù)firls利用最小二乘法使期望的頻率響應(yīng)和實(shí)際的頻率響應(yīng)間的誤差最??；函數(shù)remez實(shí)現(xiàn)Park-McClellan算法，這種算法利用remez交換算法和Che-byshev近似理論設(shè)計(jì)濾波器，使實(shí)際頻率響應(yīng)擬合期望頻率響應(yīng)達(dá)到最優(yōu)。
函數(shù)調(diào)用格式為b=remez(n，f，m，‘h’)或b=firIs(n，f，m，‘h’)，其中，n為濾波器的階數(shù)；f為濾波器期望頻率特性的頻率向量標(biāo)準(zhǔn)化頻率，取值0～1，是遞增向量，允許定義重復(fù)頻點(diǎn)；m為濾波器期望頻率特性的幅值向量，向量m和f必須同長(zhǎng)度且為偶數(shù)；b為函數(shù)返回的濾波器系數(shù)，長(zhǎng)度為n+1，本文將采用remez函數(shù)法。
下面設(shè)計(jì)一個(gè)希爾伯特變換器，要求采樣頻率為2 000 Hz，通頻帶為50～950 Hz，濾波器階數(shù)為60階。實(shí)現(xiàn)程序如下：