小波變換和motion信號處理(二)

，我們可以循環(huán)如此，把屬于V0的

在V2, V3, …, Vn中表示出來。這些方程就是MRA equation，也叫refinement equation，它是scaling function理論的基礎(chǔ)，也是小波分析的基礎(chǔ)之一。

好，稍微總結(jié)一下。到現(xiàn)在，已經(jīng)講了關(guān)于scaling function的基本理論知識，知道了信號空間可以分為不同精細(xì)度的子空間，這些子空間的basis集合就是scaling function或者頻率變換之后的scaling function，如下圖所示：

上圖就是四個子空間的basis集合的展覽。通過前面的討論，我們還知道，一開始的scaling function可以通過更精細(xì)的子空間的scaling function(它們都是對應(yīng)子空間的basis)來構(gòu)建。比如

對于更加finer的scale：

圖2

依此類推。實際上，對于任何scale和translate過的scaling function，都可以用更加精細(xì)的scale層面上的scaling function構(gòu)建出來。

然后，我們有各種scale下的scaling function了，該看看它們分別所對應(yīng)的嵌套的空間序列

了。先看看V0，自然就是以基本的scaling function為基礎(chǔ)去span出來的：

這個不新鮮，剛才就講過了。這個子空間代表什么樣的信號?常量信號。道理很簡單，這個scaling function在整個信號長度上，沒有任何變化。繼續(xù)往下看：

這個相比V0更加finer的子空間，代表著這樣一種信號，它從1-4是常量，從5-8是另一個常量。同理我們有：

V2代表的信號，是分別在1，2; 3，4; 5，6; 7，8上有相同值的信號。那么V3呢?則表示任何信號，因為對于V3來講，任何一個時間刻度上的值都可以不一樣。而且現(xiàn)在，我們也可以通過上面的一些scaling functions的波形驗證了之前提到的多解析度分析中的一個核心性質(zhì)，那就是：

我們之前講了一堆多解析度的理論，但直到現(xiàn)在，通過這些圖形化的分析，我們可能才會真正理解它。那好，既然我們有一個現(xiàn)成的信號，那就來看看，對這個信號作多解析度分析是啥樣子的：

你看，在不同的子空間，對于同一個信號就有不同的詮釋。詮釋最好的當(dāng)然是V3，完全不損失細(xì)節(jié)。這就是多解析度的意義。我們可以有嵌套的，由scaling function演變的basis function集合，每一個集合都提供對原始信號的某種近似，解析度越高，近似越精確。

說到這里，可能你對scaling function以及多解析度分析已經(jīng)比較理解了。但是，我們還沒有涉及到它們在小波變換中的具體應(yīng)用，也就是還沒有回答剛才那個問題：憑空插了一個scaling function到小波basis組合中干嘛。也就是說，我們希望理解scaling function是怎么和小波函數(shù)結(jié)合的呢，多解析度能給小波變換帶來什么樣的好處呢。這其實就是是小波變換中的核心知識。理解了這個，后面的小波變換就是純數(shù)學(xué)計算了。

好，我們已經(jīng)知道，對于子空間V0，basis是scaling function：

對應(yīng)的小波函數(shù)是：

然后子空間V1的basis集合是這倆哥們：

看出什么規(guī)律了么?多看幾次這三個圖，你會驚訝地發(fā)現(xiàn)，在V0中的scaling function和wavelet function的組合，其實就是V1中的basis!繼續(xù)這樣推導(dǎo)，V1本來的的basis是：

然后V1中對應(yīng)的wavelet function是

他們的組合，本質(zhì)上也就是V2的basis(參考圖2)。你繼續(xù)推導(dǎo)下去，會得到同樣的結(jié)論：在scale j的wavelet function，可以被用來將Vj的basis擴(kuò)展到V(j+1)中去!這是一個非常非常關(guān)鍵的性質(zhì)，因為這代表著，對任何一個子空間Vj，我們現(xiàn)在有兩種方法去得到它的orthonormal basis：

1. 一種就是它本來的basis

，對任意k。

2. 第二種就是它上一個子空間的basis

，對任意k，以及上一級子空間的wavelet function

，對任意k。

第二種選擇能給我們帶來額外的好處，那就是我們可以循環(huán)不斷地用上一級子空間的scaling function以及wavelet function的組合來作為當(dāng)前子空間的基。換句話說，如果針對V3這個子空間，它實際上就有四種不同的，但是等價的orthonormal basis：

1. 本級(V3)的scaling function basis set

2. 上一級(V2)的scaling function + wavelet function;

3 . 上上一級(V1)的scaling function + 上上一級(V1)的wavelet function + 上一級(V2)的wavelet function;

4. 上上上一級(V0)的scaling function + 上上上一級(V0)的wavelet function + 上上一級(V1)的wavelet function + 上一級(V2)的wavelet function

好，看看最后一種選取方式，有沒有感到眼熟?對了，它就是我們之前提到的“針對此信號space的哈爾小波basis組合”，參見圖1?，F(xiàn)在我們知道了，這個scaling function不是憑空插進(jìn)去的，而是通過不斷的嵌套迭代出來的：)

那為什么我們最后選定的是這種選取方式呢?實際上，剛才介紹的這個性質(zhì)已經(jīng)告訴我們，對于任何的scale j0，我們都可以給我們的signal space找到一組orthonormal basis，這個basis是通過組合scale j0上的scaling function以及所有在scale j，j>j0上的wavelets得到的。這樣，基于這個orthonormal basis，所有信號空間中的信號都可以寫成組成這個basis的functions的線性組合：

對應(yīng)的系數(shù)的計算和平常一樣：

這，就是最終的，也是最核心的，小波變換形式。不管是信號壓縮，濾波，還是別的方式處理，只要是用小波變換，都逃不出這個基礎(chǔ)流程：

1. 選取合適的wavelet function和scaling function，從已有的信號中，反算出系數(shù)c和d。

2. 對系數(shù)做對應(yīng)處理

3. 從處理后的系數(shù)中重新構(gòu)建信號。

這里的系數(shù)處理是區(qū)別你的應(yīng)用的重點。比如圖像或者視頻壓縮，就希望選取能將能量聚集到很小一部分系數(shù)中的小波，然后拋棄那些能量很小的小波系數(shù)，只保留少數(shù)的這些大頭系數(shù)，再反變換回去。這樣的話，圖像信號的能量并沒有怎么丟失，圖像體積卻大大減小了。

還有一個沒有解釋的問題是，為什么要強(qiáng)調(diào)尺度函數(shù)和小波函數(shù)組成一個orthonormal basis呢?計算方便是一方面，還有一個原因是，如果他們滿足這個性質(zhì)，就滿足瑞利能量定理，也就是說，信號的能量，可以完全用每個頻域里面的展開部分的能量，也就是他們的展開系數(shù)表示：

到這里，我們對小波變換的形式就講完了。雖然是用的最簡單的哈爾小波為例子，但舉一反三即可。我們著重介紹了多解析度分析以及它給小波變換帶來的殺手锏：時域頻域同時定位。結(jié)束之前，再多說幾句小波變換的意義。我們拿剛才例子中V3子空間的第二種可選擇的orthonormal basis作為例子：

左邊這四個basis組成元素，也就是scaling functions，的系數(shù)，表征的是信號的local平均(想想它們和信號的內(nèi)積形式)，而右邊的這四個basis組成元素，也就是wavelet functions，的系數(shù)則表征了在local平均中丟失的信號細(xì)節(jié)。得益于此，多解析度分析能夠?qū)π盘栐谠絹碓綄挼膮^(qū)域上取平均，等同于做低通濾波，而且，它還能保留因為平均而損失的信號細(xì)節(jié)，等同于做高通濾波!這樣，我們終于可以解釋了wavelet function和scaling function背后的物理意義了：wavelet function等同于對信號做高通濾波保留變化細(xì)節(jié)，而scaling function等同于對信號做低通濾波保留平滑的shape!

對小波變換的基礎(chǔ)知識，我們就講到這里。需要注意的是，這只是小波變換最基本最基本的知識，但也是最核心的知識。掌握了這些，代表你對小波變換的物理意義有了一定的了解。但對于小波變換本身的講解，一本書都不一定能將講透，還有很多的基礎(chǔ)知識我都沒有講，比如如何構(gòu)建自己的scaling function，選取合適的系數(shù)集h[k]，并由此構(gòu)建自己的wavelet functions。所以，如果有深入下去研究的同學(xué)，好好買一本書來看吧。而只是希望用小波變換來服務(wù)自己的應(yīng)用的同學(xué)，個人覺得這些知識已經(jīng)足夠讓你用來起步了。