組合邏輯電路的分析與設計-邏輯代數(shù)

作者：時間：2011-07-25 來源：網(wǎng)絡

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在任何時刻，輸出狀態(tài)只決定于同一時刻各輸入狀態(tài)的組合，而與先前狀態(tài)無關的邏輯電路稱為組合邏輯電路。下圖即是組合邏輯電路的一般框圖，它可用如下的邏輯函數(shù)來描述，即 L_i＝f（A₁，A₂，…，A_n）（i＝１，２，…，m）
　　式中 A₁，A₂，…,A_n為輸入變量。

組合邏輯電路具有如下特點：
　?。?）輸出、輸入之間沒有反饋延遲通路；
　?。?）電路中不含記憶單元。

第一節(jié)　邏輯代數(shù)

　　邏輯代數(shù)亦稱為布爾代數(shù)，其基本思想是英國數(shù)學家布爾于1854年提出的。1938年，香農(nóng)把邏輯代數(shù)用于開關和繼電器網(wǎng)絡的分析、化簡，率先將邏輯代數(shù)用于解決實際問題。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，邏輯代數(shù)已成為分析和設計邏輯電路不可缺少的數(shù)學工具。
　　邏輯代數(shù)提供了一種方法，即使用二值函數(shù)進行邏輯運算，這樣
，一些用語言描述顯得十分復雜的邏輯命題，使用數(shù)學語言后，就變成了簡單的代數(shù)式。邏輯電路中的一個邏輯命題，不僅包含肯定和否定兩重含義，而且包含條件與結果許多種可能的組合。比如，一個３輸入端的與非門存在著輸入與輸出狀態(tài)的八種可能的組合。用語言描述既嚕嗦又不清晰，用真值表則一目了然，而用代數(shù)式L＝ABC表達就更為簡明。
　　邏輯代數(shù)有一系列的定律和規(guī)則，用它們對數(shù)學表達式進行處理
，可以完成對電路的化簡、變換、分析和設計。

一、邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式

常用邏輯代數(shù)定律和恒等式表：

　　表中的基本定律是根據(jù)邏輯加、乘、非三種基本運算法則，推導出的邏輯運算的一些基本定律。
　　對于表中所列的定律的證明，最有效的方法就是檢驗等式左邊的函數(shù)與右邊函數(shù)的真值表是否吻合。

例如，要證明A＋A=A時，可按照下面的步驟進行證明：
　　1. 令A＝1，則A＋A＝l＋l＝l＝A；
　　2. 令A＝0，則A＋A＝0＋0＝0＝A；
　　除此之外，別無其他可能，可見A＋A＝A。

　　恒等式可以用其他更基本的定律加以證明，我們來證明其中的第一條，即

　　證明如下：

　　在以上所有定律中，反演律具有特殊重要的意義。反演律又稱為摩根定律，它經(jīng)常用于求一個函數(shù)的非函數(shù)或者對邏輯函數(shù)進行變換
。

例1：證明反演律(摩根定律)成立
證明：
　　因為“輸入都是１時,輸出才是１”同“輸入有０時,輸出為０”在邏輯上是等效的,這種等效關系可寫成

　　本節(jié)所列出的基本公式反映了邏輯關系，而不是數(shù)量之間的關系
，在運算中不能簡單套用初等代數(shù)的運算規(guī)則。如初等代數(shù)中的移項規(guī)則就不能用，這是因為邏輯代數(shù)中沒有減法和除法的緣故。這一點在使用時必須注意。

二、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則

1.代入規(guī)則

　　在任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊出現(xiàn)的某變量A ，都用一個函數(shù)代替，則等式依然成立，這個規(guī)則稱為代人規(guī)則。
　　例如，在B(A＋C)＝BA＋BC中，將所有出現(xiàn)A的地方都代以函數(shù)A＋D,則等式仍成立，即得B[(A＋D)＋C]＝B(A＋D)＋BC＝BA＋BD＋BC
　　代人規(guī)則可以擴展所有基本定律的應用范圍。

2.反演規(guī)則

　　根據(jù)摩根定律，求一個邏輯函數(shù)Ｌ的非函數(shù)時，可以將Ｌ中的與（·）換成或（＋），或（＋）換成與（·）；再將原變量換為非變量（如Ａ換成），非變量換為原變量；并將1換成0，0換成1；那么所得邏輯函數(shù)式就是。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。
　　注意，交換時要保持原式中的先后順序，否則容易出錯。
　　例如，求的非函數(shù)時，按照上述法則，可得，不能寫成。
運用反演規(guī)則時必須注意兩點：
　?。?）保持原來的運算優(yōu)先順序，即如果在原函數(shù)表達式中,AB之間先運算，再和其他變量進行運算，那么非函數(shù)的表達式中，仍然是AB之間先運算。
　?。?）對于反變量以外的非號應保留不變。

3.對偶規(guī)則

　　L是一個邏輯表達式，如把L中的與（·）換成或（＋）,或（＋）換成與（·）；1換成0，0換成1，那么就得到一個新的邏輯函數(shù)式，這就是L的對偶式，記作L。
　　例如，，則。變換時仍需注意保持原式中先與后或的順序。
　　所謂對偶規(guī)則，是指當某個邏輯恒等式成立時，則其對偶式也成立。
　　利用對偶規(guī)則，可從已知公式中得到更多的運算公式。
　　例如，吸收律成立，則它的對偶式也是成立的。

三、邏輯函數(shù)的代數(shù)變換與化簡法

　　在第１章，曾經(jīng)通過列寫真值表，得到了樓梯照明燈控制的邏輯表達式，它是一個同或函數(shù)。那么，對應唯一的真值表，邏輯函數(shù)表達式和實現(xiàn)它的邏輯電路是不是唯一的呢？下面就討論這個問題。

1.邏輯函數(shù)的變換

　　例：函數(shù)對應的邏輯圖如下圖所示。利用邏輯代數(shù)的基本定律對上述表達式進行變換。

　　解：

　　結果表明，圖示電路也是一個同或門。

　　例：求同或函數(shù)的非函數(shù)。
　　解：

　　這個函數(shù)稱為異或函數(shù)，它表示當兩個輸入變量取值相異（一個為0，另一個為1）時，輸出函數(shù)值為1。
　　在MOS門電路中，我們已接觸過異或門，上面的推導更明確地告訴我們，異或門和同或門互為非函數(shù)。所以在異或門電路的輸出端再加一級反相器，也能得到同或門，如下圖所示。

　　至此，我們已經(jīng)學到了不止一種同或函數(shù)，但是同或函數(shù)的真值表卻是唯一的，事實上還可以列舉許多。由此可以得出結論：一個特定的邏輯問題，對應的真值表是唯一的，但實現(xiàn)它的電路多種多樣。這給設計電路帶來了方便，當我們手頭缺少某種邏輯門的器件時，可以通過函數(shù)表達式的變換，避免使用這種器件而改用其他器件。這種情形在實際工作中常會遇到。

2.邏輯函數(shù)的化簡

　　根據(jù)邏輯表達式，可以畫出相應的邏輯圖。但是直接根據(jù)某種邏輯要求而歸納出來的邏輯表達式及其對應的邏輯圖，往往并不是最簡的形式，這就需要對邏輯表達式進行化簡。
　　一個邏輯函數(shù)可以有多種不同的邏輯表達式，如與—或表達式、或—與表達式、與非—與非表達式、或非—或非表達式以及與—或—非表達式等。