正弦交流電量的相量表示

正弦量除了用波形和瞬時(shí)表達(dá)式來表示以外，利用歐拉公式還可以表示成復(fù)指數(shù)的形式。一個(gè)正弦交流電流，可以表示為復(fù)指數(shù)形式：

（3-3-1）

方括號(hào)內(nèi)是一個(gè)復(fù)數(shù)，符號(hào)Im表示取復(fù)數(shù)的虛部。復(fù)指數(shù)的模即為正弦函數(shù)的幅值，

圖3-3-1

幅角為正弦函數(shù)的相位，它隨時(shí)間以角度增長。若把復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)之間用一帶箭頭的有向線段相連，如圖3-3-1所示，則可得到一個(gè)幅角隨時(shí)間變化的旋轉(zhuǎn)矢量。這條用來表示正弦函數(shù)的矢量稱為正弦量的相量。相量在復(fù)平面上的圖形稱為相量圖。圖中畫出了該相量在和時(shí)的位置。當(dāng)時(shí)，該相量與實(shí)軸夾角為正弦函數(shù)的初始相位角。該相量以角速度隨時(shí)間向逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)刻，相量轉(zhuǎn)到圖中虛線所示位置。此時(shí)與實(shí)軸夾角為。由圖可以看出，該相量在虛軸上的投影長度等于，即等于對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)在該時(shí)刻的瞬時(shí)值。

在用復(fù)平面上的相量表示正弦函數(shù)時(shí)，只要確定其初相位時(shí)的相量即可，即相當(dāng)于取時(shí)的復(fù)指數(shù)函數(shù)。實(shí)際的正弦時(shí)間函數(shù)只要把該復(fù)數(shù)乘以，再取其虛部就可以得到。在電工計(jì)算中，復(fù)數(shù)中的模一般取為正弦量的有效值，即可以把復(fù)數(shù)表示為，這里I為有效值，為初相角。這樣我們可以把式（3-1-1）的正弦交流電流表示成相量形式為

（3-2-2） 或 （3-2-3）

掌握正弦函數(shù)的瞬時(shí)值表達(dá)式，相量表示圖形和復(fù)數(shù)表達(dá)式，并理解它們之間的內(nèi)在轉(zhuǎn)換關(guān)系和意義，是穩(wěn)態(tài)正弦交流電路中相量計(jì)算的基礎(chǔ)。

圖 3-3-2

下面來討論兩個(gè)同頻率正弦量的計(jì)算問題。對(duì)于圖3-3-2所示的電路，若已知兩條支路中的電流為

，

則合成電流i為：

由前面分析得：

這里： （3-3-4）

由上式可知，要計(jì)算合成電流i只要知道合成電流的相量即可，于是兩個(gè)同頻率的正弦電流相加問題，就轉(zhuǎn)化成這兩個(gè)正弦電流對(duì)應(yīng)的相量的相加問題，即把三角函數(shù)的相加轉(zhuǎn)化為兩個(gè)復(fù)數(shù)的相加運(yùn)算。

我們還可以在相量圖上直觀地來分析兩個(gè)正弦量的相量相加的意義。電流i₁與i₂的相量、示于圖3-3-3中。

圖 3-3-3

當(dāng)時(shí)相量處于初始位置。按兩個(gè)相量相加的平行四邊形法則，作與的合成相量，如圖3-3-3b所示。由圖可見在虛軸上的投影即為_與相量在虛軸上的投影值之和，合成相量在虛軸上的投影即為的瞬時(shí)值。經(jīng)過時(shí)刻，相量_與都沿著逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了角度，如圖3-3-3a所示，由于_與的相對(duì)位置沒有變化，因此其合成相量的長度也沒有變化。與時(shí)刻相比，也逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了相角。此時(shí)_與在虛軸上的投影值之和仍等于合成相量在虛軸上的投影。在任意時(shí)刻都可以用合成相量在虛軸的投影來表示_與的投影之和。相量在虛軸的投影即為該相量對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)的瞬時(shí)值，這樣兩個(gè)正弦函數(shù)瞬時(shí)值相加之和就等于合成相量所表示的正弦函數(shù)瞬時(shí)值，從而把三角函數(shù)運(yùn)算變成為相量相加減的復(fù)數(shù)運(yùn)算。必須指出，只有同頻率的

正弦量才可以進(jìn)行相量運(yùn)算。

圖 3-3-4

例3-3-1 在圖3-3-4中，已知，，試求總電壓u的值。

解：根據(jù)基爾霍夫定律有，用相量來表示則，已知，，則可求得

總電壓u的瞬時(shí)表達(dá)式為：