十進(jìn)制數(shù)的二進(jìn)制編碼

一、8421碼?

8421碼是最常用的一種有權(quán)碼，其4位二進(jìn)制碼從高位至低位的權(quán)依次為23、22、21、20，即為8、4、2、1,故稱為8421碼 。按8421碼編碼的0～9與用4位二進(jìn)制數(shù)表示的0～9完全一樣，所以，8421碼是一種人機(jī)聯(lián)系時(shí)廣泛使用的中間形式。

注意：
※ 8421碼中不允許出現(xiàn)1010～1111四種組合，因?yàn)闆]有十進(jìn)制數(shù)字符號(hào)與其對應(yīng)。
※ 十進(jìn)制數(shù)字符號(hào)的8421碼與相應(yīng)ASCII碼的低四位相同，這一特點(diǎn)有利于簡化輸入輸出過程中BCD碼與字符代碼的轉(zhuǎn)換。

1．8421碼與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換
8421碼與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換是按位進(jìn)行的，即十進(jìn)制數(shù)的每一位與4位二進(jìn)制編碼對應(yīng)。例如
（258）₁₀ = （0010 0101 1000）_8421碼??
（0001 0010 0000 1000）_8421碼?=（1208）₁₀???

2．8421碼與二進(jìn)制的區(qū)別
例如， （28）₁₀ = （11100）₂ = （00101000）₈₄₂₁

二、2421碼?

2421碼是另一種有權(quán)碼，其4位二進(jìn)制碼從高位至低位的權(quán)依次為2、4、2、1。若一個(gè)十進(jìn)制字符X的2421碼為a3 a2 a1 a0，則該字符的值為
? ? X = 2a₃ + 4a₂ + 2a₁ + 1a₀
例如，（1101）_2421碼?= （7）₁₀。?

1．2421碼與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換
2421碼與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換同樣是按位進(jìn)行的，例如，
（258）₁₀ = （0010 1011 1110）_2421碼
（0010 0001 1110 1011）_2421碼?= （2185）₁₀

2．注意
?2421碼不具備單值性。例如，0101和1011都對應(yīng)十進(jìn)制數(shù)字5。為了與十進(jìn)制字符 一 一 對應(yīng)，2421碼不允許出現(xiàn)0101～1010的6種狀態(tài)。
?2421碼是一種對9的自補(bǔ)代碼。即一個(gè)數(shù)的2421碼只要自身按位變反，便可得到該數(shù)對9的補(bǔ)數(shù)的2421碼。例如，4對9的補(bǔ)數(shù)是5，將4的2421碼0100按位變反，便可得到5的2421碼1011。具有這一特征的BCD碼可給運(yùn)算帶來方便，因?yàn)橹苯訉CD碼進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可利用其對9的補(bǔ)數(shù)將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算。?
?2421碼與二進(jìn)制數(shù)的區(qū)別!
三、余3碼

余3碼是由8421碼加上0011形成的一種無權(quán)碼 ，由于它的每個(gè)字符編碼比相應(yīng)8421碼多3，故稱為余3碼。例如，十進(jìn)制字符5的余3碼等于5的8421碼0101加上0011，即為1000。

1．注意：
☆ 余3碼有6種狀態(tài)0000、0001、0010、1101、1110和1111是不允許出現(xiàn)的。
☆ 余3碼也是一種對9的自補(bǔ)代碼，因而可給運(yùn)算帶來方便。
☆ 將兩個(gè)余3碼表示的十進(jìn)制數(shù)相加時(shí)，能正確產(chǎn)生進(jìn)位信號(hào)，但對“和”必須修正。修正的方法是： 如果有進(jìn)位，則結(jié)果加3；如果無進(jìn)位，則結(jié)果減3。

2．余3碼與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換
余3碼與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換也是按位進(jìn)行的，值得注意的是每位十進(jìn)制數(shù)的編碼都應(yīng)余3。例如，
?? （256）10 = （0101 1000 1001）_余3碼?
（1000 1001 1001 1011）_余3碼 = （5668）₁₀

計(jì)算機(jī)中使用的是二進(jìn)制數(shù)，人們習(xí)慣使用的是十進(jìn)制數(shù)，因此，輸入到計(jì)算機(jī)中的十進(jìn)制數(shù)需要轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)；數(shù)據(jù)輸出時(shí)，應(yīng)將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。為了方便，大多數(shù)通用性較強(qiáng)的計(jì)算機(jī)需要能直接處理十進(jìn)制形式表示的數(shù)據(jù)。為此，在計(jì)算機(jī)中還設(shè)計(jì)了一種中間數(shù)字編碼形式，它把每一位十進(jìn)制數(shù)用 4 位二進(jìn)制編碼表示，稱為二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制表示形式，簡稱 BCD碼(binary coded decimal)，又稱為二—十進(jìn)制數(shù)。
4 位二進(jìn)制數(shù)碼，可編碼組合成 16 種不同的狀態(tài)，而十進(jìn)制數(shù)只有 0，1，…，9 這十個(gè)數(shù)碼，因此選擇其中的十種狀態(tài)作BCD碼的方案有許多種，如 8421BCD碼、格雷碼、余3碼等，編碼方案見表2.1.1。
表2.1.1 用二進(jìn)制編碼表示的十進(jìn)制數(shù)
十進(jìn)制數(shù)8421碼2421碼5211碼余3碼格雷碼
000000000000000110000
100010001000101000001
200100010001101010011
300110011010101100010
401000100011101110110
501011011100010001110
601101100101010011010
701111101110010101000
810001110111010111100
910011111111111000100

最常用的 BCD 碼是 8421BCD 碼。8421BCD 碼選取 4 位二進(jìn)制數(shù)的前 10 個(gè)代碼分別對應(yīng)表示十進(jìn)制數(shù)的 10 個(gè)數(shù)碼，1010 ~ 1111這 6 個(gè)編碼未被使用。從表中可以看到這種編碼是有權(quán)碼。四個(gè)二進(jìn)制位的位權(quán)從高向低分別為8，4，2和1，若按權(quán)求和，和數(shù)就等于該代碼所對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。例如，0110 = 2² + 2¹ = 6。
把一個(gè)十進(jìn)制數(shù)變成它的 8421BCD 碼數(shù)串，僅對十進(jìn)制數(shù)的每一位單獨(dú)進(jìn)行即可。例如變1986為相應(yīng)的 8421BCD 碼表示，結(jié)果為 0001 1001 1000 0110。反轉(zhuǎn)換過程也類似，例如變 0101 1001 0011 0111 為十進(jìn)制數(shù)，結(jié)果應(yīng)為 5937 。
8421BCD 碼的編碼值與字符 0 到 9 的 ASCII 碼的低 4 位相同，有利于簡化輸入輸出過程中從字符 → BCD 和從BCD → 字符的轉(zhuǎn)換操作，是實(shí)現(xiàn)人機(jī)聯(lián)系時(shí)比較好的中間表示。需要譯碼時(shí)，譯碼電路也比較簡單。
8421BCD 碼的主要缺點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)加減運(yùn)算的規(guī)則比較復(fù)雜，在某些情況下，需要對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行修正。