十進制數的二進制編碼

一、8421碼?

8421碼是最常用的一種有權碼，其4位二進制碼從高位至低位的權依次為23、22、21、20，即為8、4、2、1,故稱為8421碼 。按8421碼編碼的0～9與用4位二進制數表示的0～9完全一樣，所以，8421碼是一種人機聯(lián)系時廣泛使用的中間形式。

注意：
※ 8421碼中不允許出現1010～1111四種組合，因為沒有十進制數字符號與其對應。
※ 十進制數字符號的8421碼與相應ASCII碼的低四位相同，這一特點有利于簡化輸入輸出過程中BCD碼與字符代碼的轉換。

1．8421碼與十進制數之間的轉換
8421碼與十進制數之間的轉換是按位進行的，即十進制數的每一位與4位二進制編碼對應。例如
（258）₁₀ = （0010 0101 1000）_8421碼??
（0001 0010 0000 1000）_8421碼?=（1208）₁₀???

2．8421碼與二進制的區(qū)別
例如， （28）₁₀ = （11100）₂ = （00101000）₈₄₂₁

二、2421碼?

2421碼是另一種有權碼，其4位二進制碼從高位至低位的權依次為2、4、2、1。若一個十進制字符X的2421碼為a3 a2 a1 a0，則該字符的值為
? ? X = 2a₃ + 4a₂ + 2a₁ + 1a₀
例如，（1101）_2421碼?= （7）₁₀。?

1．2421碼與十進制數之間的轉換
2421碼與十進制數之間的轉換同樣是按位進行的，例如，
（258）₁₀ = （0010 1011 1110）_2421碼
（0010 0001 1110 1011）_2421碼?= （2185）₁₀

2．注意
?2421碼不具備單值性。例如，0101和1011都對應十進制數字5。為了與十進制字符 一 一 對應，2421碼不允許出現0101～1010的6種狀態(tài)。
?2421碼是一種對9的自補代碼。即一個數的2421碼只要自身按位變反，便可得到該數對9的補數的2421碼。例如，4對9的補數是5，將4的2421碼0100按位變反，便可得到5的2421碼1011。具有這一特征的BCD碼可給運算帶來方便，因為直接對BCD碼進行運算時，可利用其對9的補數將減法運算轉化為加法運算。?
?2421碼與二進制數的區(qū)別!
三、余3碼

余3碼是由8421碼加上0011形成的一種無權碼 ，由于它的每個字符編碼比相應8421碼多3，故稱為余3碼。例如，十進制字符5的余3碼等于5的8421碼0101加上0011，即為1000。

1．注意：
☆ 余3碼有6種狀態(tài)0000、0001、0010、1101、1110和1111是不允許出現的。
☆ 余3碼也是一種對9的自補代碼，因而可給運算帶來方便。
☆ 將兩個余3碼表示的十進制數相加時，能正確產生進位信號，但對“和”必須修正。修正的方法是： 如果有進位，則結果加3；如果無進位，則結果減3。

2．余3碼與十進制數之間的轉換
余3碼與十進制數之間的轉換也是按位進行的，值得注意的是每位十進制數的編碼都應余3。例如，
?? （256）10 = （0101 1000 1001）_余3碼?
（1000 1001 1001 1011）_余3碼 = （5668）₁₀

計算機中使用的是二進制數，人們習慣使用的是十進制數，因此，輸入到計算機中的十進制數需要轉換成二進制數；數據輸出時，應將二進制數轉換成十進制數。為了方便，大多數通用性較強的計算機需要能直接處理十進制形式表示的數據。為此，在計算機中還設計了一種中間數字編碼形式，它把每一位十進制數用 4 位二進制編碼表示，稱為二進制編碼的十進制表示形式，簡稱 BCD碼(binary coded decimal)，又稱為二—十進制數。
4 位二進制數碼，可編碼組合成 16 種不同的狀態(tài)，而十進制數只有 0，1，…，9 這十個數碼，因此選擇其中的十種狀態(tài)作BCD碼的方案有許多種，如 8421BCD碼、格雷碼、余3碼等，編碼方案見表2.1.1。
表2.1.1 用二進制編碼表示的十進制數
十進制數8421碼2421碼5211碼余3碼格雷碼
000000000000000110000
100010001000101000001
200100010001101010011
300110011010101100010
401000100011101110110
501011011100010001110
601101100101010011010
701111101110010101000
810001110111010111100
910011111111111000100

最常用的 BCD 碼是 8421BCD 碼。8421BCD 碼選取 4 位二進制數的前 10 個代碼分別對應表示十進制數的 10 個數碼，1010 ~ 1111這 6 個編碼未被使用。從表中可以看到這種編碼是有權碼。四個二進制位的位權從高向低分別為8，4，2和1，若按權求和，和數就等于該代碼所對應的十進制數。例如，0110 = 2² + 2¹ = 6。
把一個十進制數變成它的 8421BCD 碼數串，僅對十進制數的每一位單獨進行即可。例如變1986為相應的 8421BCD 碼表示，結果為 0001 1001 1000 0110。反轉換過程也類似，例如變 0101 1001 0011 0111 為十進制數，結果應為 5937 。
8421BCD 碼的編碼值與字符 0 到 9 的 ASCII 碼的低 4 位相同，有利于簡化輸入輸出過程中從字符 → BCD 和從BCD → 字符的轉換操作，是實現人機聯(lián)系時比較好的中間表示。需要譯碼時，譯碼電路也比較簡單。
8421BCD 碼的主要缺點是實現加減運算的規(guī)則比較復雜，在某些情況下，需要對運算結果進行修正。