數(shù)字電路中卡諾圖的應(yīng)用

在數(shù)字電路中，卡諾圖是用最小項方格表示邏輯函數(shù)的方法，其是用圖形表示輸入變量與函數(shù)之間的邏輯關(guān)系，它用幾何位置上的相鄰，形象地表示了組成邏輯函數(shù)的各個最小項之間在邏輯上的相鄰性。初學(xué)者往往以為卡諾圖只是數(shù)字電路分析和設(shè)計中用以化簡邏輯函數(shù)的一種工具。其實不然，實際上靈活運用卡諾圖，可以使邏輯電路的分析和設(shè)計過程大大地簡化，讓一些難題迎刃而解。下面介紹卡諾圖在化簡之外的幾點靈活運用。

　　1 卡諾圖的應(yīng)用

　　1.1 利用卡諾圖結(jié)構(gòu)幫助記憶格雷碼

　　格雷碼是一種常用的無權(quán)BCD碼，相鄰兩碼之間只有一位二進制數(shù)碼不同。常用于模擬量的轉(zhuǎn)換中，當(dāng)模擬量發(fā)生微小變化而可能引起數(shù)字量發(fā)生變化時，格雷碼僅改變1位，這樣與其他碼同時改變兩位或多位的情況相比更為可靠，可減少出錯的可能性，提高電路的抗干擾能力，它是一種典型的可靠性代碼，這種碼制在數(shù)控裝置中有著廣泛的應(yīng)用。但由于這種編碼所具有的獨特性，實際應(yīng)用中很難記憶。經(jīng)研究和探討，我們觀察到利用卡諾圖按照一定規(guī)律取值，可用于實現(xiàn)記憶格雷碼。這種獨特的記憶方式，可幫助學(xué)生方便、輕松地記住該編碼，并應(yīng)用于實際中。

　　選用四變量卡諾圖并令：G3G2G1G0分別作為四位格雷碼的輸入變量。將變量G3G2作為高位，GlGO作為低位。畫出四變量卡諾圖。從四變量卡諾圖中我們可見，卡諾圖中四變量若按箭頭所示的方向順序取值，其所取的值變化順序正好即為四位格雷碼的編碼表，如圖1格雷碼的卡諾圖表示法所示。十進制數(shù)從 0～15，對應(yīng)四位格雷碼的輸入代碼依次分別為0000—0001—0011——1001一1000，如表l所示格雷嗎碼的編碼表。

　　1.2 卡諾圖在組合邏輯電路競爭冒險中的應(yīng)用

　　競爭冒險，是數(shù)字電路中一種特有的現(xiàn)象。不同的門電路有著不同的延遲時間，輸入信號經(jīng)過不同的途徑進行傳輸，到達(dá)輸出端的時間有早有遲，狀態(tài)變化有先有后，存在時差。這種狀態(tài)變化存在時差的現(xiàn)象就叫做“競爭”。如果競爭結(jié)果是使穩(wěn)態(tài)輸出的邏輯關(guān)系受到短暫破壞，出現(xiàn)不應(yīng)有的尖峰脈沖，這種現(xiàn)象就叫做“冒險”。冒險可能使電路產(chǎn)生暫時或永久的邏輯錯誤。

　　在進行邏輯電路設(shè)計時，我們必須應(yīng)發(fā)現(xiàn)和判別出產(chǎn)生競爭冒險的可能，并采取積極有效的措施將競爭冒險予以消除。判斷和消除競爭冒險的方法很多，最簡便和最直觀的方法就是使用卡諾圖。

　　使用卡諾圖判斷一個組合邏輯電路是否存在著競爭冒險的一般步驟是：首先畫出該電路邏輯函數(shù)的卡諾圖，然后在函數(shù)卡諾圖上畫出與表達(dá)式中所有乘積項相對應(yīng)的卡諾圈，如果圖中有相切的卡諾圈，則該邏輯電路存在著競爭冒險如圖2所示，所謂卡諾圈相切即兩個卡諾圈之間存在不被同一卡諾圈包含的相鄰最小項。

　　如果邏輯函數(shù)的卡諾圖中存在著相切的卡諾圈，該邏輯電路就存在著競爭冒險;那么，只要使函數(shù)的卡諾圖中消除相切的卡諾圈，即可消除競爭冒險現(xiàn)象。在卡諾圖上，加上一個與兩相切卡諾圈相交的一個圈(一項)，破壞卡諾圈的單獨相切性。加上此圈后，邏輯函數(shù)多了一個冗余項，冗余項的加入并不改變原邏輯函數(shù)的邏輯值，但冗余項的加入?yún)s可以有效地消除冒險。

　　例如圖3所示的卡諾圖中，有兩處存在卡諾圈相切現(xiàn)象，故其表示的邏輯函數(shù)式F=ABC十ABD+AD存在冒險。可加兩個卡諾圈(虛線圈)破壞其相切性，也即增加兩個冗余項BCD和ACD，消除競爭冒險后，該邏輯函數(shù)的表達(dá)式如下所示：

　　由此可見，使用卡諾圖判斷和消除數(shù)字電路中的競爭冒險，簡便直觀，易于操作。

　　1.3 用卡諾圖完成兩邏輯函數(shù)的邏輯運算

　　首先將邏輯函數(shù)F1和F2在同一張卡諾圖中表示出來。為區(qū)別起見，將函數(shù)F1出現(xiàn)的l填在卡諾圖小方格的左上角，將另一函數(shù)F2出現(xiàn)的l填在卡諾圖小方格的左下角。

　　下面以幾個常見的邏輯運算為例來說明。

　　1)求兩邏輯函數(shù)Y1和Y2的或運算F1+F2

　　根據(jù)或運算的特點，求或運算時，只要將Y1、Y2卡諾圖中出現(xiàn)的所有l(wèi)都畫入包圍圈，然后根據(jù)卡諾圖寫出表達(dá)式。

　　2)求兩邏輯函數(shù)Fl和F2的與運算Fl·F2

　　根據(jù)與運算的特點，求與運算時，只要將F1、F2卡諾圖中重復(fù)出現(xiàn)的l畫入包圍圈，然后根據(jù)卡諾圖寫出表達(dá)式。

　　3)求兩邏輯函數(shù)Fl和F2的異或運算Fl+F2

　　根據(jù)異或運算的特點，求異或運算時，只要將Fl、F2卡諾圖中不重復(fù)出現(xiàn)的l畫入包圍，然后根據(jù)卡諾圖寫出表達(dá)式。

　　例：已知兩邏輯函數(shù)F1(A，B，C)=∑m(0，1，3)，F(xiàn)2(A，B，C)=∑m(0，4，5，7)，試用卡諾圖分別求出F1+F2;Fl·F2和Fl+F2。

　　解：

　　1)將邏輯函數(shù)Fl、F2在同一張卡諾圖中表示出來，將函數(shù)出現(xiàn)的1填在卡諾圖小方格的左上角，將函數(shù)F2出現(xiàn)的l填在卡諾圖小方格的左下角，如圖4;

　　2)求Fl+F2時，將Fl、F2卡諾圖中出現(xiàn)的所有l(wèi)都畫入包圍圈，如圖5;

　　3)求F1·F2時，將F1、F2卡諾圖中重復(fù)出現(xiàn)的1畫入包圍圈，如圖6;

　　4)求F1+F2時，將F1、F2卡諾圖中不重復(fù)出現(xiàn)的1畫入包圍圈，如圖7;

　　5)根據(jù)圖5、6、7寫出函數(shù)表達(dá)式：

　　1.4 使用降維卡諾圖化簡多變量函數(shù)

　　在卡諾圖中，通常我們用“0”、“1”以及無關(guān)項“d”(或用“×”表示)作為卡諾圖中的單元值，函數(shù)的變量都作為卡諾圖的變量，一般來說，卡諾圖的維數(shù)也就是函數(shù)的變量數(shù).如果將某些變量也作為圖中的單元值，則所得到的卡諾圖維數(shù)將減少，這樣的卡諾圖叫做降維卡諾圖。在用中規(guī)模集成電路，特別是用數(shù)據(jù)選擇器來實現(xiàn)函數(shù)時，使用降維卡諾圖化簡多變量函數(shù)是非常有用的。降維卡諾圖化簡原理在此不再贅述。

　　例如邏輯函數(shù)F(A，B，C，D)=∑m(0，3，5，6，9，10，12，15) 如果選用8選1數(shù)據(jù)選擇器74LSl5l實現(xiàn)組合邏輯函數(shù)，由于8選l數(shù)據(jù)選擇器的地址變量為3個，將邏輯函數(shù)降維為三維卡諾圖后與8選1數(shù)據(jù)選擇器含 Di的卡諾圖對照比較(見圖8)，很容易獲得數(shù)據(jù)選擇器輸入信號與邏輯函數(shù)變量的關(guān)系：令A(yù)2=A，A1=B，A0=C，則 Do="D3"=D5=D6=D，Dl=D2=D4=D7=D，畫出邏輯圖，如圖9所示。

　　如果選用4選一數(shù)據(jù)選擇器實現(xiàn)邏輯函數(shù)，還可以將三維卡諾圖繼續(xù)降維成二維卡諾圖后與4選l數(shù)據(jù)選擇器含Di的卡諾圖對照比較(見圖11)，獲得數(shù)據(jù)選擇器輸入信號與邏輯函數(shù)變量的關(guān)系：A1=A，A0=B，D0=D3=CD+CD=C+D，Dl=D2=CD+CD=C+D

　　用4選一數(shù)據(jù)選擇器實現(xiàn)邏輯函數(shù)見圖10。

　　2 結(jié)束語

　　從以上幾例論述可知，卡諾圖的用途不只限于邏輯函數(shù)化簡的功能，可廣泛用于記憶或設(shè)計有關(guān)碼制，競爭冒險中的判斷，數(shù)據(jù)選擇器實現(xiàn)組合邏輯函數(shù)和邏輯函數(shù)的邏輯運算等，深入理解卡諾圖的內(nèi)涵，巧妙地應(yīng)用它，能得到意想不到的效果，為數(shù)字邏輯電路的分析和綜合帶來很大的方便。