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三維矢量散射積分方程中奇異性的分析

作者： 時(shí)間：2010-12-25 來源：網(wǎng)絡(luò) 收藏

　　上式就是電場積分方程的主值積分.不難看出式(1)和(11)的區(qū)別僅為：主值積分的積分域不含有奇點(diǎn)，因此可用經(jīng)典函數(shù)論的方法分析其積分值收斂趨勢.于是，阻抗元素計(jì)算式(4)可改寫為：

g69-8.gif (2201 bytes)

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfts69-2.gif (94 bytes)sself=sq∩sp,Δsself→0　(12)
由式(12)可知，在關(guān)于場點(diǎn)和源點(diǎn)的面積分中，被積函數(shù)包含了兩項(xiàng)：

g69-9.gif (1718 bytes)　(13)
g69-10.gif (1399 bytes)　(14)

阻抗矩陣計(jì)算式(4)和(12)可分別簡寫為：

g69-11.gif (1956 bytes)　(15)

和

g69-12.gif (2031 bytes)　(16)

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfts69-2.gif (94 bytes)sself=sq∩sp,Δsslef→0.
　　式(15)，(16)都能用來求解矩陣自阻抗元素.但式(16)對源點(diǎn)使用主值積分，便于數(shù)值分析.兩式中，I1=I′1,I2=I′2.為方便計(jì)，選擇其中的I1和I′2.

三、奇異項(xiàng)轉(zhuǎn)移方法
　　在式(13)中，僅包含弱奇異性的Abel積分核［7］.一般來講，對于這類積分，數(shù)值計(jì)算時(shí)只要分格越細(xì)(不取奇點(diǎn))，所得的數(shù)值結(jié)果就越精確.但計(jì)算量增加.若取較少的節(jié)點(diǎn)，則由于被積函數(shù)在奇點(diǎn)附近變化劇烈，導(dǎo)致誤差增大.所以必須尋找一種在數(shù)值計(jì)算上實(shí)際可行的方案.處理這類奇異積分的方法之一是奇異轉(zhuǎn)移法［1］.本文將這種方法進(jìn)行了推廣，以便解決式(13)那樣的奇異問題.經(jīng)過簡單的數(shù)學(xué)處理，得：

g69-13.gif (3705 bytes)　(17)

在上式中，第一項(xiàng)被積函數(shù)在積分域是連續(xù)有限的，因此數(shù)值可積.在第二項(xiàng)積分中，因子f1(r,r)只與場點(diǎn)有關(guān)，故可提到積分號(hào)外，因此簡化了奇異項(xiàng)以便于使用積分的解析解：

g69-14.gif (3602 bytes)

式中R0=
g69-15.gif (1017 bytes)　(19)

四、挖除有限小塊法
　　下面討論I′2的數(shù)值積分.積分項(xiàng)I′2不包含奇點(diǎn)，其被積函數(shù)F2(r,r′)在積分域上是解析的.但在奇點(diǎn)r附近，由于F2(r,r′)隨r′的變化非常劇烈，用一般的數(shù)值求積是很困難的.
　　用一有限小曲面塊ΔS包圍奇點(diǎn)(ΔSts69-2.gif (94 bytes)sp)，并設(shè)F2(r,r′)的陡變部分在ΔS中.取Δs0=ΔS-Δsself.在實(shí)際空間中，Δs0對應(yīng)于一很小的曲面塊，即Δs01.而在參數(shù)空間中，Δs0則為一很小的矩形塊，其長為Δu1，寬為Δu2，如圖1.這時(shí)I′2變?yōu)椋?p align="center">g70-1.gif (1896 bytes)　(20)

式中第一項(xiàng)不含陡變部分，所以可用一般的數(shù)值求積方法計(jì)算.第二項(xiàng)不含奇點(diǎn)，可以得到解析結(jié)果.

t70-1.gif (3067 bytes)

<label id="g2tvh"><th id="g2tvh"><small id="g2tvh"></small></th></label>
<label id="g2tvh"><progress id="g2tvh"></progress></label>
圖1　挖除有很小塊Δs0.(a)參數(shù)空間對應(yīng)的矩形有限小塊，矩形中點(diǎn)為奇異點(diǎn)(u1,u2);(b)實(shí)空間對應(yīng)的有限小塊Δs0；(c)參數(shù)空間中，奇異點(diǎn)(u1,u2)平移到原點(diǎn)0后，矩形有限小塊的極坐標(biāo)圖
　　由式(14)可知，由于含有隨源空間r′變化的幾何因子g70-2.gif (359 bytes)和jp(r′)含有的因子1/g70-2.gif (359 bytes)相互抵消，簡化了求積運(yùn)算.于是，式(14)簡化為：
g70-3.gif (1103 bytes)　(21)
　　在上式中，A(r)為不隨源點(diǎn)變化的因子，而且
g70-4.gif (1124 bytes)　(22)
g70-5.gif (713 bytes)　(23)
　　當(dāng)Δs01，有R0≈R.
　　由圖1可知，在參數(shù)空間中，Δs0的中點(diǎn)恰好位于奇點(diǎn)上，故I22中對源點(diǎn)的積分域關(guān)于奇點(diǎn)對稱，這將為求積帶來方便.若作一平移，使坐標(biāo)原點(diǎn)與奇點(diǎn)重合(如圖1所示)，不難證明I22值為零.
　　因
g70-6.gif (1454 bytes)　(24)
其中，g70-7.gif (879 bytes)　(25)
從而有：SSG(R0)=SSG(R0(ρ,θ))=SSG(R0(ρ,θ+π))　(26)
及g70-8.gif (580 bytes)　(27)
于是I22則可寫為：
g70-9.gif (1491 bytes)　(28)
把式(26)，(27)代入式(28)，化簡后得I22=0.于是式(20)變成：I′2=I21+0=I21.從上述分析可知，分離的小塊域?qū)Ψe分無貢獻(xiàn).所以，在實(shí)際計(jì)算中，可以方便地使用數(shù)值求積方法計(jì)算I′2，并令場點(diǎn)等于源點(diǎn)時(shí)的積分為零.
				
            

                
			
							

                
			            
                            
              
            
		
		

		

		

		

			
    
				
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