基于BM算法的BCH碼的譯碼硬件實現(xiàn)

摘要：BCH碼是一種理論上比較成熟的代數(shù)碼型，在電力通信系統(tǒng)，GSM標準的語音和數(shù)據(jù)業(yè)務，以及衛(wèi)星通信和數(shù)字廣播通信(DVB-S2)等多個領域均有著廣泛的應用?；趦绱芜\算，在線性反饋移位寄存器(LFSR)下實現(xiàn)了基于Berlekamp―Massey(BM)時域迭代譯碼算法的整個譯碼器構(gòu)架，以及BM簡化算法的硬件設計。通過計算機模擬仿真表明，兩種算法的譯碼速率分別可達到32 Mbps，37Mbps。
關(guān)鍵詞：BM迭代簡化算法；FPGA；譯碼器構(gòu)架

O 引言
BCH碼是1959年由Hocquenghem，1960年由Bose和Chandhari分別獨立提出的一種能糾正多個隨機錯誤的循環(huán)碼，該碼有嚴格的代數(shù)結(jié)構(gòu)，具有糾錯能力可控，在中短碼長情況下性能接近理論最佳值等優(yōu)點，并且構(gòu)造方便，編碼簡單，是實際使用最廣泛的碼型之一。
1960年P(guān)eterson從理論上解決了二進制BCH碼的譯碼算法，奠定了BCH碼譯瑪?shù)睦碚摶A。隨后，Gorensten和Zierler把它推廣到高階有限域中。1966年Berlekamp提出了迭代譯碼算法，Maxsey從線性反饋寄存器的角度對該算法進行描述，不僅使算法硬件實現(xiàn)成為可能，也大大提高了譯碼速度，從實際上解決了BCH碼的譯碼問題。鑒于FP―GA具有較大塊RAM，本文以(15，5)BCH碼為例說明如何將BM迭代算法，以及后面的chien搜索都建立在有限域上進行運算，用域元素的冪次運算代替原來的乘和除操作，從而節(jié)約了邏輯單元(slice)資源。文獻已經(jīng)給出了普通BM譯碼算法的流程圖，本文根據(jù)二元BCH碼的特點給出了簡化的BM算法流程圖。

1 BM算法介紹
1．1 有限域知識介紹
BCH碼是在有限域中進行運算的，詳細的有限域知識參考文獻。
以本文設計的BCH碼為例，p(x)=x4+x1+1是GF(2)上的本原多項式。令α為本原多項式的根，m=4，則由{l，α，α2，α3}中元素的線性組合可表示GF(24)上的所有非零元素{α0，α1，α2，…，α14}，這些非零元素構(gòu)成一個循環(huán)群如表l所示。最后一行是為了運算的需要，人為加上去的，表示“無”這種狀態(tài)。

1．2 經(jīng)典BM算法
普通的譯碼算法都可分為如下三步：
(1)由接收碼字R(x)計算伴隨式S(x)．(用除法電路)
(2)由伴隨式S(x)求差錯圖樣E(x)．(用各種譯碼方式)
(3)由差錯圖樣E(x)求得譯出碼字C(x)．(用關(guān)系式C(x)=R(x)一E(x))
上面的(1)(3)步是固定關(guān)系式的運算，相對容易，最關(guān)鍵的是第(2)步。1966年，Berlekamp針對關(guān)鍵方程式S(x)D(x)≡ω(x)(mod x2t+1)的求解(這里的D(x)為錯誤位置多項式)，提出一種復雜度隨糾錯數(shù)目線性增加的迭代算法，而Massey對Berlekamp算法作為設計自回歸濾波器的過程進行了重新的推導，采用反饋移位寄存器來完成關(guān)鍵方程的計算。自此以后這種譯碼算法被稱為BM迭代譯碼算法，其算法流程圖參考文獻。

2 二元域下的簡化算法
經(jīng)典的BM算法流程適合任何有限域的BCH碼，對于GF(2)，我們可以證明當r為偶數(shù)時，△r為0[2]，此時迭代可以省略。通過對經(jīng)典BM算法流程圖的改進，得到下圖l，即GF(2)上的簡化BM算法流程圖。

其中，Sn為伴隨式，D(x)為錯誤位置多項式，B(x)為多項式修正項，△代表差值即下一個伴隨式與由當前錯誤位置多項式表示的移位寄存器所產(chǎn)生的值之間的差值，L為移位寄存器的當前長度。