傅里葉級數(shù)電路分析——傅里葉級數(shù)表示法簡介

了解傅里葉級數(shù)在電路分析中的重要性以及傅里葉級數(shù)方程，同時深入了解這種分析工具的工作原理。

傅里葉級數(shù)是一個強大的工具，可以將非正弦周期波形表示為正弦波形的總和。在本文中，我們將首先通過介紹其眾多應(yīng)用之一——電路分析來討論傅里葉級數(shù)的重要性。然后，我們將復(fù)習傅里葉級數(shù)方程，并嘗試深入了解這種分析工具的工作原理。

使用正弦波形的電路分析：RL電路示例

在深入探討之前，應(yīng)該指出的是，正弦波形在解決許多工程和科學問題中起著關(guān)鍵作用。例如，在電路分析中，了解不同頻率的正弦波形的響應(yīng)，可以讓我們確定其他類型波形的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。為了更好地理解這個特性，讓我們來看看圖1所示的簡單RL（電阻器-電感器）電路。

一個RL電路的例子。

圖1。一個RL電路的例子。

假設(shè)輸入是一個正弦電壓，由下式給出：

在t=0時，開關(guān)關(guān)閉，輸入被施加到電路中?？梢宰C明，流過電路的電流由下式給出：

其中，θ是一個依賴于ω、L和R的參數(shù)，上述方程中的第一項是系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。顧名思義，瞬態(tài)響應(yīng)是暫時的，通常隨著時間的推移很快就會消失，也許在幾毫秒內(nèi)。如果我們讓開關(guān)保持閉合足夠長的時間，那么我們剩下的就只有第二項，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是與輸入頻率相同的正弦波。它的相位和振幅可能與輸入不同，但它具有相同的形狀和頻率。當我們在上面研究RL電路時，這個特性適用于任何其他線性時不變（LTI）系統(tǒng)，無論是復(fù)雜的放大器還是一段電線。如果電路元件是線性和時不變的，那么它對頻率為ω的正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是相同頻率的正弦波。其他波形（例如方波）的情況并非如此，其中電路可以改變波形形狀并修改其幅度和相位。

兩個正弦分量之和的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

在上面的例子中，我們觀察到電路將輸入相位改變了-θ，并將輸入幅度乘以系數(shù)H，該系數(shù)由下式給出：

這意味著，通過θ和H，我們可以確定任意頻率ω下正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。如果我們同時施加兩個正弦輸入ω1和ω2，會怎么樣？換句話說，電路將如何響應(yīng)以下輸入：

由于電路被假設(shè)為線性的，疊加原理指出，總輸出等于各個輸入分量產(chǎn)生的輸出的總和。因此，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：

其中，θ1和θ2分別是輸入分量在ω1和ω2處經(jīng)歷的相移。因此，如果我們知道不同頻率的正弦分量的響應(yīng)，我們也可以確定任意正弦分量之和的響應(yīng)。

對任意波形的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

讓我們更進一步！知道不同正弦輸入的響應(yīng)，我們能否確定對周期性非正弦波形的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)？例如，如果我們輸入圖2所示的方波，我們?nèi)绾未_定電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)？

請注意，圖2僅顯示了輸入波形的一個周期；換句話說，圖中所示的部分被假設(shè)為隨時間以周期性方式重復(fù)。

一個方波的例子。

圖2:一個方波的例子。

這就是傅里葉級數(shù)脫穎而出的地方。傅里葉級數(shù)允許我們根據(jù)正弦波形來描述任意周期波形，如上述方波。由于我們知道電路對單個正弦分量的響應(yīng)，我們也可以應(yīng)用疊加定理來找到對任意波形的響應(yīng)。

正弦函數(shù)之和：從正弦波和方波中學習

在討論傅里葉級數(shù)方程之前，讓我們試著描繪一幅定性圖，說明一些正弦函數(shù)的和如何表示任意波形?？紤]圖2中的上述方波。我們可以用一個正弦函數(shù)來近似這個波形嗎？

如圖3所示，與方波頻率相同的正弦波（本例中為1 Hz）很好地融入了方波中，并沿x軸呈現(xiàn)出相同的過零點。目前，我們暫且不關(guān)心這個正弦波的振幅是如何選擇的。

用單個正弦波近似方波。

圖3。用單個正弦波近似方波。

在上圖中，兩個波形的整體形狀有一些相似之處，但它們?nèi)匀挥泻艽蟮牟煌?。方波在每個半周期內(nèi)保持不變。然而，正弦波在方波的正半周期和負半周期的中點分別達到最大值和最小值。與正弦波不同，方波在過渡處變化更為突然。

總體而言，正弦波似乎無法跟上方波的突變。在這種情況下，單個正弦波似乎不是方波的可接受近似值。但是，如果我們添加另一個正弦分量呢？通過添加另一個具有適當振幅和頻率的正弦波，我們或許可以實現(xiàn)更好的近似。如圖4中的紅色曲線所示，在這個例子中，這個新的正弦波是3 Hz。

3 Hz正弦波示例。

圖4。3 Hz正弦波示例。

青色和紅色曲線在方波過渡附近具有相同的極性。因此，當兩個正弦波疊加在一起時，會產(chǎn)生一個過渡比單個正弦波更陡峭的波形。然而，對于0.1667 < t < 0.3333和0.6667 < t < 0.8333，兩個正弦波具有相反的極性。通過更清晰的過渡和平坦的波峰和波谷，兩個正弦波的總和可以產(chǎn)生更準確的表示（圖5）。

兩個正弦波和一個方波的示例波形。

圖5。兩個正弦波和一個方波的示例波形。

這表明，通過添加更多具有適當振幅和頻率的正弦分量，我們可以更好地近似方波。例如，通過10個適當選擇的正弦波，我們得到了如圖6所示的波形。

示例顯示方波和10個正弦波。

圖6。顯示方波和10個正弦波的示例。

既然我們已經(jīng)知道可以將周期信號表示為正弦分量之和，那么剩下的問題是，如何為給定的波形計算這些正弦分量？

理解傅里葉級數(shù)方程——尋找傅里葉級數(shù)表示

假設(shè)f(t)是周期為T的周期信號。我們可以將f(t)表示為正弦分量的無窮和，如下所示：

方程式1。

解釋：

a0、an和bn是信號的傅里葉系數(shù)

${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$表示周期信號的基頻

頻率  被稱為波形的第 n 次諧波。系數(shù)可以通過以下方程式計算：

方程式2。

方程式3。

方程式4。

請注意，積分可以在波形的任何任意周期內(nèi)進行，這意味著它不一定需要在$$?\frac{T}{2}$$ 到  $$+\frac{T}{2}$$  之間

然而，它需要是一個完整的波形周期。在某些情況下，適當選擇積分的起點可以使計算不那么繁瑣。

例如，讓我們找到圖7所示的周期電壓的傅里葉級數(shù)。

周期性電壓示例。

圖7。周期性電壓示例。

通過應(yīng)用方程式2，我們得到：

接下來，方程式3得出系數(shù)為：

如果你讀過本系列中關(guān)于傅里葉系數(shù)對稱性的另一篇文章，上述結(jié)果應(yīng)該不會讓你感到意外。在消除圖7中方波的DC值后，我們得到一個奇對稱的波形。對于奇數(shù)信號，對于所有n，我們有=0。

最后，通過應(yīng)用方程式4，我們得到bn系數(shù)如下：

你可以驗證上述積分對于偶數(shù)n的結(jié)果為零。對于奇數(shù)n，我們得到：

因此，將我們的發(fā)現(xiàn)代入方程式1，我們可以將這個波形的傅里葉級數(shù)寫為：

請注意如何調(diào)整n變量，以考慮只有奇數(shù)倍的  ${\omega }_0$的正弦波是非零的。

 傅里葉分析——電路分析中的多功能工具

雖然我們介紹了傅里葉級數(shù)，從其在電路分析中的應(yīng)用開始，但應(yīng)該指出的是，傅里葉級數(shù)及其變體也廣泛用于其他目的。例如，與傅里葉級數(shù)密切相關(guān)的一個重要工具是離散傅里葉變換（DFT），其計算效率高的實現(xiàn)稱為快速傅里葉變換（FFT）。FFT在雷達應(yīng)用中用于確定目標的距離和速度，以及許多其他應(yīng)用。

有趣的是，傅里葉分析在自然界中也是一個無處不在的工具，以至于有些人將其描述為自然界分析數(shù)據(jù)的方式。耶魯大學生物物理學教授彼得·摩爾（Peter Moore）表示，我們的眼睛和耳朵在潛意識中執(zhí)行傅里葉變換，以解釋聲波和光波。

上面討論的傅里葉級數(shù)允許我們將信號分解為不同頻率的正弦分量。這使我們能夠確定信號功率在頻域中的分布方式。

傅里葉級數(shù)用于分析周期性波形。對于非周期性波形，應(yīng)使用傅里葉級數(shù)的推廣，即傅里葉變換。

對于所有實際感興趣的信號，傅里葉級數(shù)都存在，這意味著正弦分量的總和收斂到原始波形。然而，從數(shù)學的角度來看，我們可能無法將給定的周期函數(shù)表示為收斂的傅里葉級數(shù)。足以確保收斂的要求被稱為狄利克雷條件。然而，這種限制在實踐中并不構(gòu)成嚴重問題，因為物理系統(tǒng)中產(chǎn)生的波形滿足狄利克雷條件。