傅里葉級(jí)數(shù)電路分析——傅里葉級(jí)數(shù)表示法簡介

了解傅里葉級(jí)數(shù)在電路分析中的重要性以及傅里葉級(jí)數(shù)方程，同時(shí)深入了解這種分析工具的工作原理。

傅里葉級(jí)數(shù)是一個(gè)強(qiáng)大的工具，可以將非正弦周期波形表示為正弦波形的總和。在本文中，我們將首先通過介紹其眾多應(yīng)用之一——電路分析來討論傅里葉級(jí)數(shù)的重要性。然后，我們將復(fù)習(xí)傅里葉級(jí)數(shù)方程，并嘗試深入了解這種分析工具的工作原理。

使用正弦波形的電路分析：RL電路示例

在深入探討之前，應(yīng)該指出的是，正弦波形在解決許多工程和科學(xué)問題中起著關(guān)鍵作用。例如，在電路分析中，了解不同頻率的正弦波形的響應(yīng)，可以讓我們確定其他類型波形的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。為了更好地理解這個(gè)特性，讓我們來看看圖1所示的簡單RL（電阻器-電感器）電路。

一個(gè)RL電路的例子。

圖1。一個(gè)RL電路的例子。

假設(shè)輸入是一個(gè)正弦電壓，由下式給出：

在t=0時(shí)，開關(guān)關(guān)閉，輸入被施加到電路中?？梢宰C明，流過電路的電流由下式給出：

其中，θ是一個(gè)依賴于ω、L和R的參數(shù)，上述方程中的第一項(xiàng)是系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。顧名思義，瞬態(tài)響應(yīng)是暫時(shí)的，通常隨著時(shí)間的推移很快就會(huì)消失，也許在幾毫秒內(nèi)。如果我們讓開關(guān)保持閉合足夠長的時(shí)間，那么我們剩下的就只有第二項(xiàng)，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是與輸入頻率相同的正弦波。它的相位和振幅可能與輸入不同，但它具有相同的形狀和頻率。當(dāng)我們在上面研究RL電路時(shí)，這個(gè)特性適用于任何其他線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)，無論是復(fù)雜的放大器還是一段電線。如果電路元件是線性和時(shí)不變的，那么它對(duì)頻率為ω的正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是相同頻率的正弦波。其他波形（例如方波）的情況并非如此，其中電路可以改變波形形狀并修改其幅度和相位。

兩個(gè)正弦分量之和的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

在上面的例子中，我們觀察到電路將輸入相位改變了-θ，并將輸入幅度乘以系數(shù)H，該系數(shù)由下式給出：

這意味著，通過θ和H，我們可以確定任意頻率ω下正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。如果我們同時(shí)施加兩個(gè)正弦輸入ω1和ω2，會(huì)怎么樣？換句話說，電路將如何響應(yīng)以下輸入：

由于電路被假設(shè)為線性的，疊加原理指出，總輸出等于各個(gè)輸入分量產(chǎn)生的輸出的總和。因此，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：

其中，θ1和θ2分別是輸入分量在ω1和ω2處經(jīng)歷的相移。因此，如果我們知道不同頻率的正弦分量的響應(yīng)，我們也可以確定任意正弦分量之和的響應(yīng)。

對(duì)任意波形的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

讓我們更進(jìn)一步！知道不同正弦輸入的響應(yīng)，我們能否確定對(duì)周期性非正弦波形的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)？例如，如果我們輸入圖2所示的方波，我們?nèi)绾未_定電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)？

請注意，圖2僅顯示了輸入波形的一個(gè)周期；換句話說，圖中所示的部分被假設(shè)為隨時(shí)間以周期性方式重復(fù)。

一個(gè)方波的例子。

圖2:一個(gè)方波的例子。

這就是傅里葉級(jí)數(shù)脫穎而出的地方。傅里葉級(jí)數(shù)允許我們根據(jù)正弦波形來描述任意周期波形，如上述方波。由于我們知道電路對(duì)單個(gè)正弦分量的響應(yīng)，我們也可以應(yīng)用疊加定理來找到對(duì)任意波形的響應(yīng)。

正弦函數(shù)之和：從正弦波和方波中學(xué)習(xí)

在討論傅里葉級(jí)數(shù)方程之前，讓我們試著描繪一幅定性圖，說明一些正弦函數(shù)的和如何表示任意波形。考慮圖2中的上述方波。我們可以用一個(gè)正弦函數(shù)來近似這個(gè)波形嗎？

如圖3所示，與方波頻率相同的正弦波（本例中為1 Hz）很好地融入了方波中，并沿x軸呈現(xiàn)出相同的過零點(diǎn)。目前，我們暫且不關(guān)心這個(gè)正弦波的振幅是如何選擇的。

用單個(gè)正弦波近似方波。

圖3。用單個(gè)正弦波近似方波。

在上圖中，兩個(gè)波形的整體形狀有一些相似之處，但它們?nèi)匀挥泻艽蟮牟煌?。方波在每個(gè)半周期內(nèi)保持不變。然而，正弦波在方波的正半周期和負(fù)半周期的中點(diǎn)分別達(dá)到最大值和最小值。與正弦波不同，方波在過渡處變化更為突然。

總體而言，正弦波似乎無法跟上方波的突變。在這種情況下，單個(gè)正弦波似乎不是方波的可接受近似值。但是，如果我們添加另一個(gè)正弦分量呢？通過添加另一個(gè)具有適當(dāng)振幅和頻率的正弦波，我們或許可以實(shí)現(xiàn)更好的近似。如圖4中的紅色曲線所示，在這個(gè)例子中，這個(gè)新的正弦波是3 Hz。

3 Hz正弦波示例。

圖4。3 Hz正弦波示例。

青色和紅色曲線在方波過渡附近具有相同的極性。因此，當(dāng)兩個(gè)正弦波疊加在一起時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)過渡比單個(gè)正弦波更陡峭的波形。然而，對(duì)于0.1667 < t < 0.3333和0.6667 < t < 0.8333，兩個(gè)正弦波具有相反的極性。通過更清晰的過渡和平坦的波峰和波谷，兩個(gè)正弦波的總和可以產(chǎn)生更準(zhǔn)確的表示（圖5）。

兩個(gè)正弦波和一個(gè)方波的示例波形。

圖5。兩個(gè)正弦波和一個(gè)方波的示例波形。

這表明，通過添加更多具有適當(dāng)振幅和頻率的正弦分量，我們可以更好地近似方波。例如，通過10個(gè)適當(dāng)選擇的正弦波，我們得到了如圖6所示的波形。

示例顯示方波和10個(gè)正弦波。

圖6。顯示方波和10個(gè)正弦波的示例。

既然我們已經(jīng)知道可以將周期信號(hào)表示為正弦分量之和，那么剩下的問題是，如何為給定的波形計(jì)算這些正弦分量？

理解傅里葉級(jí)數(shù)方程——尋找傅里葉級(jí)數(shù)表示

假設(shè)f(t)是周期為T的周期信號(hào)。我們可以將f(t)表示為正弦分量的無窮和，如下所示：

方程式1。

解釋：

a0、an和bn是信號(hào)的傅里葉系數(shù)

${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$表示周期信號(hào)的基頻

頻率  被稱為波形的第 n 次諧波。系數(shù)可以通過以下方程式計(jì)算：

方程式2。

方程式3。

方程式4。

請注意，積分可以在波形的任何任意周期內(nèi)進(jìn)行，這意味著它不一定需要在$$?\frac{T}{2}$$ 到  $$+\frac{T}{2}$$  之間

然而，它需要是一個(gè)完整的波形周期。在某些情況下，適當(dāng)選擇積分的起點(diǎn)可以使計(jì)算不那么繁瑣。

例如，讓我們找到圖7所示的周期電壓的傅里葉級(jí)數(shù)。

周期性電壓示例。

圖7。周期性電壓示例。

通過應(yīng)用方程式2，我們得到：

接下來，方程式3得出系數(shù)為：

如果你讀過本系列中關(guān)于傅里葉系數(shù)對(duì)稱性的另一篇文章，上述結(jié)果應(yīng)該不會(huì)讓你感到意外。在消除圖7中方波的DC值后，我們得到一個(gè)奇對(duì)稱的波形。對(duì)于奇數(shù)信號(hào)，對(duì)于所有n，我們有=0。

最后，通過應(yīng)用方程式4，我們得到bn系數(shù)如下：

你可以驗(yàn)證上述積分對(duì)于偶數(shù)n的結(jié)果為零。對(duì)于奇數(shù)n，我們得到：

因此，將我們的發(fā)現(xiàn)代入方程式1，我們可以將這個(gè)波形的傅里葉級(jí)數(shù)寫為：

請注意如何調(diào)整n變量，以考慮只有奇數(shù)倍的  ${\omega }_0$的正弦波是非零的。

 傅里葉分析——電路分析中的多功能工具

雖然我們介紹了傅里葉級(jí)數(shù)，從其在電路分析中的應(yīng)用開始，但應(yīng)該指出的是，傅里葉級(jí)數(shù)及其變體也廣泛用于其他目的。例如，與傅里葉級(jí)數(shù)密切相關(guān)的一個(gè)重要工具是離散傅里葉變換（DFT），其計(jì)算效率高的實(shí)現(xiàn)稱為快速傅里葉變換（FFT）。FFT在雷達(dá)應(yīng)用中用于確定目標(biāo)的距離和速度，以及許多其他應(yīng)用。

有趣的是，傅里葉分析在自然界中也是一個(gè)無處不在的工具，以至于有些人將其描述為自然界分析數(shù)據(jù)的方式。耶魯大學(xué)生物物理學(xué)教授彼得·摩爾（Peter Moore）表示，我們的眼睛和耳朵在潛意識(shí)中執(zhí)行傅里葉變換，以解釋聲波和光波。

上面討論的傅里葉級(jí)數(shù)允許我們將信號(hào)分解為不同頻率的正弦分量。這使我們能夠確定信號(hào)功率在頻域中的分布方式。

傅里葉級(jí)數(shù)用于分析周期性波形。對(duì)于非周期性波形，應(yīng)使用傅里葉級(jí)數(shù)的推廣，即傅里葉變換。

對(duì)于所有實(shí)際感興趣的信號(hào)，傅里葉級(jí)數(shù)都存在，這意味著正弦分量的總和收斂到原始波形。然而，從數(shù)學(xué)的角度來看，我們可能無法將給定的周期函數(shù)表示為收斂的傅里葉級(jí)數(shù)。足以確保收斂的要求被稱為狄利克雷條件。然而，這種限制在實(shí)踐中并不構(gòu)成嚴(yán)重問題，因?yàn)槲锢硐到y(tǒng)中產(chǎn)生的波形滿足狄利克雷條件。