頻率響應(yīng)法--奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

＝常數(shù)

這說明當(dāng)s沿著半徑為無窮大的半圓變化時(shí)，函數(shù) 始終是一常數(shù)。由此， 平面上的映射曲線 是否包圍坐標(biāo)原點(diǎn)，只取決于奈氏軌線中 部分的映射，即由 軸的映射曲線來表征。

設(shè)在 軸上不存在 的極點(diǎn)和零點(diǎn)，則當(dāng)s沿著 軸由 運(yùn)動(dòng)到 時(shí)，在 平面上的映射曲線 為

(5-43)

設(shè)閉合曲線 以順時(shí)針方向包圍了 的z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)，由輻角原理可知，在 平面上的映射曲線 將按順時(shí)針方向圍繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N周，其中

(5-44)

由于

因而映射曲線 對(duì)其坐標(biāo)原點(diǎn)的圍繞相當(dāng)于開環(huán)頻率特征曲線 對(duì)GH平面上的（－1，j0）點(diǎn)的圍繞，圖5－38示出了奈氏曲線映射在這兩個(gè)平面上的位置。

通過上述分析可知，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可通過其開環(huán)頻率響應(yīng) 曲線對(duì)（－1，j0）點(diǎn)的包圍與否來判別，這就是下述的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：

(1) 如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P＝0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 曲線不包圍（－1，j0）點(diǎn)。

(2) 如果開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知有P個(gè)開環(huán)極點(diǎn)在s的右半平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 曲線按逆時(shí)針方向圍繞（－1，j0）點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P周。

綜上，應(yīng)用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的具體步驟為：

（1）首先要確定開環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，則P為多少？

（2）作出奈氏曲線 。具體作圖時(shí)可先畫出 從0到 的一段曲線，然后以實(shí)軸為對(duì)稱軸，畫出 從0到 的另一段曲線，從而得到完整的奈氏曲線。

（3）計(jì)算奈氏曲線 對(duì)點(diǎn)（－1，j0）按順時(shí)針方向的包圍圈數(shù)N。

（4）根據(jù)輻角原理確定Z是否為零。如果Z＝0，表示.閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之， ，表示該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。Z的數(shù)值反映了閉環(huán)特征方程式的根在s右半平面上的個(gè)數(shù)。

例 5－5 試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：當(dāng)ω由 變化時(shí)， 曲線如圖5－39所示。因?yàn)?img onload="if(this.width>620)this.width=620;" onclick="window.open(this.src)" style="cursor:pointer" style="ZOOM: 1" height=21 src="http://editerupload.eepw.com.cn/fetch/20131227/208164_3_38.jpg" width=68 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1207"> 的開環(huán)極點(diǎn)為－0.5，－1，－2，在s的右半平面上沒有任何極點(diǎn)，即P＝0，由圖5－39可知，由于奈氏曲線不包圍（－1，j0）這點(diǎn)，因此N＝0，則Z＝N＋P＝0。這表示該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

5.4.3 奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的進(jìn)一步說明

1、開環(huán)極點(diǎn)位于虛軸的情況

如果 在虛軸上存在極點(diǎn)，那么就不能