頻率響應(yīng)法--奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)
圖5-47 |
5.4.4 奈氏穩(wěn)定判據(jù)在對數(shù)坐標(biāo)圖上的應(yīng)用
與奈氏圖的繪制相比,開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制更為簡單、方便,因而研究開環(huán)對數(shù)頻率特性形式的奈氏穩(wěn)定判據(jù)是有實(shí)際意義的。注意到開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖與相應(yīng)的對數(shù)坐標(biāo)圖之間有著下列的對應(yīng)關(guān)系:
1)GH平面上單位圓的圓周與對數(shù)坐標(biāo)圖上的0dB線相對應(yīng),單位圓的外部對應(yīng)于 ,單位圓的內(nèi)部對應(yīng)于 。
2)GH平面上的負(fù)實(shí)軸與對數(shù)坐標(biāo)圖上的 線相對應(yīng)。
圖5-48a 奈氏圖上正、負(fù)穿越 |
圖5-48b 伯德圖上正、負(fù)穿越示 |
如果 曲線以逆時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)一周,則此曲線必然由上向下穿越負(fù)實(shí)軸的 線段一次。由于這種穿越使相角增大,故稱為正穿越,其次數(shù)用 表示。反這,若 曲線按順時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)一周,則此曲線將由下向上穿越負(fù)實(shí)軸的 線段一次。由于這種穿越使相角減小,故稱為負(fù)穿越,其次數(shù)用 表示。圖5-48a所示的為正負(fù)穿越數(shù)各一次的圖形。顯然,對應(yīng)于圖5-48a上的正負(fù)穿越在伯德圖上表現(xiàn)為:在 的頻域內(nèi),當(dāng) 增加時(shí),相頻曲線 由下而上(負(fù)穿越)和由上而下(正穿越)穿過 線各一次,如圖5-48b所示。
不難看出,在極坐標(biāo)圖上 曲線對于(-1,j0)點(diǎn)的包圍圈數(shù)N與其相頻特性曲線 在對數(shù)坐標(biāo)圖上的負(fù),正穿越數(shù)之差相等。即有
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式中, 為在 頻率范圍內(nèi) 的負(fù)穿越數(shù);為在 頻率范圍內(nèi) 的正穿越數(shù)。這樣,式(5-44)便可改寫為
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應(yīng)用上式,就可得到對數(shù)頻率特性形式的奈奎斯特判據(jù):閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是,當(dāng)變化時(shí),在 頻率范圍內(nèi),相率特性 穿越 線的次數(shù)(正、負(fù)穿越數(shù)之差)為 。
在使用對數(shù)頻率特性的奈氏穩(wěn)定判據(jù)時(shí),應(yīng)注意如下兩點(diǎn):
(1) 判據(jù)中的頻率范圍是 ,而非如前述的 ;
(2) 若P為奇數(shù),則意味著開環(huán)系統(tǒng)并未產(chǎn)生真正的穿越,即相頻特性的起點(diǎn)在負(fù)半軸
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