頻率響應(yīng)法-相對(duì)穩(wěn)定性分析

為了使控制系統(tǒng)能可靠地工作，不但要求它能穩(wěn)定，而且還希望有足夠的穩(wěn)定裕量，使系統(tǒng)在環(huán)境發(fā)生變化或存在干擾的情況下仍能工作，這即為相對(duì)穩(wěn)定性的概念。

在討論系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量時(shí)，首先要假定開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，是最小相位系統(tǒng)，即開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)均僅位于s的左半平面，否則討論系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量是無(wú)意義的。

為了說(shuō)明相對(duì)穩(wěn)定性的概念，圖5－49為一典型的I型系統(tǒng) 曲線，其開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 。根據(jù)奈氏判據(jù)可知，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，奈氏曲線包圍（－1，j0）點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩，奈氏曲線經(jīng)過(guò)（－1，j0）點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線不包圍（－1，j0）點(diǎn)。因此直觀地看，對(duì)于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，要求閉環(huán)系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定性，不僅要求 的幅頻特性不包圍（－1，j0）點(diǎn)，而且應(yīng)與該點(diǎn)有一定的距離，即有一定的穩(wěn)定裕量。

衡量閉環(huán)系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的具體指標(biāo)有幅值裕量 和相位裕量 。在Matlab中，相應(yīng)地有專門(mén)的函數(shù)來(lái)求取上述指標(biāo)：Margin。具體用法參見(jiàn)下面的例子。

5.5.1 用奈氏圖表示相位裕量和幅值裕量

1、 相位裕量

設(shè)一開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)的奈氏曲線 負(fù)實(shí)軸相交于G點(diǎn)，與單位圓相交于C點(diǎn)，如圖5－50。對(duì)應(yīng)于 時(shí)的頻率 （交點(diǎn)C）稱為增益穿越頻率，又稱剪切頻率或交界頻率。在剪切頻率 處，使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)所能接受的附加相位遲后角，定義為相位裕量，用 表示之。對(duì)于任何系統(tǒng)，相位裕量 的算式為

(5-54)

式中， 是開(kāi)環(huán)頻率特性在剪切頻率 處的相位。

不難理解，對(duì)于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，若 ，表示 曲線包圍（－1，j0）點(diǎn)，相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；反之，若 ，則相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。一般 越大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性也就越好。因?yàn)橄到y(tǒng)的參數(shù)并非絕對(duì)不變，如果 太小，就有可能因參數(shù)的變化而使奈奎斯特曲線包圍（－1，j0）點(diǎn)，即導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2、 幅值裕量

幅值裕量是系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的另一度量指標(biāo)。如圖5－50所示，開(kāi)環(huán)頻率特性的相角 時(shí)的頻率 （交點(diǎn)G）處， 稱為相位穿越頻率，又稱為相位交界頻率。開(kāi)環(huán)幅值 的倒數(shù)稱為增益裕量，用 表示。即

(5-55)

上式表示系統(tǒng)在變到臨界穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)的增益能增大多少。

由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可知，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，其閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是 曲線不包圍（－1，j0）點(diǎn)，即 曲線與其負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處的模小于1，此時(shí)對(duì)應(yīng)的 。反之，對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，其 ，如圖5－51所示，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

5.5.2 用伯德圖表示相位裕量和幅值裕量

上述的相位裕量和幅值裕量也可在對(duì)數(shù)幅相圖（Bode圖）上表示。對(duì)應(yīng)于圖5－5