頻率響應法-相對穩(wěn)定性分析
(2)由題意得 ,即 。在 處的對數(shù)幅值為
上式簡化后為
解之得,K=2.5。
根據(jù) 的要求,則得
即
利用三角函數(shù)的性質,可求得 。于是有
即
求解上式得 。不難看出,K取2.5就能同時滿足 和 的要求。
5.5.3 對數(shù)幅頻特性中頻段與系統(tǒng)動態(tài)性能的關系
在分析控制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅相頻率特性時,習慣上將頻率范圍分為三個頻段:低頻段、中頻段和高頻段。其中低頻段反映了控制系統(tǒng)的靜態(tài)特性,關于此點在5.3.4中我們作了分析;中頻段則反映了系統(tǒng)的動態(tài)特性,這是控制設計中一個非常關心的問題,這將在下面作介紹;高頻段則主要反映了系統(tǒng)的抗干擾能力,對動態(tài)性能影響不大,將不作介紹。
圖5-56 對數(shù)幅頻特性三個頻段劃分 |
中頻段的主要參數(shù)有:剪切頻率 、相位裕量 和中頻寬度h。對于圖5-56所示系統(tǒng),其中頻寬度一般定義在斜率等于 、靠近 處:
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一般要求最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性在 處的斜率等于 。如果在該處的斜率等于或小于為 ,則對應的系統(tǒng)可能不穩(wěn)定,或者系統(tǒng)即使穩(wěn)定,但因相位裕量較小,系統(tǒng)的穩(wěn)定性也較差。下面通過二階系統(tǒng)和三階系統(tǒng)對上述結論進行說明。
設一標準二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:
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式中,自然振蕩頻率 ,阻尼比 ,其中 為轉角頻率,則:
(1) 當 時, ,如圖5-57a示,階躍響應是衰減較慢的振蕩過程;
(2) 當 時, ,如圖5-57b示,階躍響應是衰減較快的振蕩過程;
(3) 當 時, ,如圖5-57c示,階躍響應是接近無振蕩的非周期過程;
圖5-57 二階系統(tǒng)幅頻特性和單位階躍響應 |
再設一個三階系統(tǒng)的開環(huán)傳函數(shù)為:
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取K=0.1,1,10,100,得到如圖5-58的幅頻曲線a,b,c,d。由圖可見。當 時,式(5-59)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-58所示的曲線 。剪切頻率
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