回路矩陣與回路電壓定律

關聯(lián)矩陣A反映了電路節(jié)點與支路之間的連接關系，由此可建立矩陣形式的基爾霍夫電流定律。與此相似，當用回路電流法分析電路時，必須建立回路與支路之間的關系，如必需知道回路是由那些支路所組成，支路與回路之間的參考方向關系。這些關系可以用一個回路矩陣來描述。的行對應于某一回路，的列對應于某條支路，矩陣的元素滿足以下關系：

（7-3-1）

矩陣充分反映了回路與支路的關聯(lián)情況。

在用回路電流法分析計算電路問題時，選取正確合適的獨立回路是一個重要的問題。對于某一電路，可以選擇許多不同的回路。如對于圖7-3-1所示的網(wǎng)絡有向圖，至少可以選擇7條不同的回路來列寫回路矩陣。但這樣列出的回路矩陣中，有些回路對應的中的行是線性相關的，即是說中的某些行可以通過其它行的代數(shù)運算而得到。在電路分析中，當用基爾霍夫定律建立回路方程時，只有一組線性獨立的回路電壓方程才有實際意義。在前面已討論過如何選取網(wǎng)絡的回路來獲得獨立的基爾霍夫回路電壓方程，獨立回路可以選取單連支回路。選擇單連支回路來建立的回路矩陣，稱為基本回路矩陣，用來表示。如對于

圖 7-3-1

圖7-3-1所示網(wǎng)絡，若選取支路1、2、3作為樹，可寫出它的基本回路矩陣為：

基本回路矩陣為階矩陣。矩陣的秩等于矩陣的行數(shù)。

上面在對圖7-3-1網(wǎng)絡編號時，若支路編號采取先樹支后連支的安排，這樣建立的基本回路矩陣右半部是一個l階的單位矩陣（l為連支數(shù)）即基本回路矩陣可以表述為：

（7-3-2）

這里要指出的是，回路矩陣的行反映了某一回路與支路之間的關系，而回路矩陣的列則反映了某一支路與所有回路之間的關系。即是說，從某一列元素中可以看出有多少回路穿越該支路，且可判別出回路方向與支路方向之間的關系，它實際上隱含著支路電流與回路電流之間的關系信息。

對于平面網(wǎng)孔，另一種選取獨立回路的方法是選擇網(wǎng)孔回路，由網(wǎng)孔回路建立的回路矩陣稱作網(wǎng)孔回路矩陣，可用來表示。如對于圖7-3-1所示的網(wǎng)絡，可寫出其網(wǎng)孔回路矩陣為：

這里取回路方向為順時針方向。

回路矩陣的每一行元素反映了該回路中所包含的支路及其方向。若設網(wǎng)絡支路電壓的參考方向與支路電流方向一致，寫成列向量為，用回路矩陣左乘支路電壓列向量u，可得個元素的列向量，其中每一行都包含了該回路中所有支路電壓代數(shù)和，且當支路電壓方向與回路一致時為正，反之為負。由基爾霍夫電壓定律可知，任一閉合回路的電壓代數(shù)和恒為零，因此可知與u的乘積為零，即有：

（7-3-3）

（7-3-4）

對于正弦穩(wěn)態(tài)交流電路，有：

（7-3-5）

（7-3-6）

對于圖7-3-1所示的網(wǎng)絡，其支路電壓列向量為用前面得到的基本回路矩陣左乘u，可得：

由上式可看出，乘積的每一行是各回路中支路電壓代數(shù)和，是基爾霍夫電壓定律的反映，式7-3-3和7-3-4稱為矩陣形式的基爾霍夫電壓定律。

下面分析支路電流與回路電流之間的關系。前面已指出，回路矩陣的每一列元素實際上是反映某一支路中所穿過的回路和方向。設回路電流列向量為，則用左乘后，乘積的每一行之和恰為流過該支路中所有回路電流的代數(shù)和，且回路電流方向與支路方向一致時為正，反之為負。由回路電流法解題的知識可知，任一支路中所有回路電流代數(shù)和為該支路電流之值。因此可知與的乘積為支路電流列向量i，即：

（7-3-7） 或 （7-3-8）

例如對于圖7-3-1所示網(wǎng)絡，選單連支回路為獨立回路，此時回路電流即為連支電流，有：

用左乘，得：