回路矩陣與回路電壓定律

關(guān)聯(lián)矩陣A反映了電路節(jié)點(diǎn)與支路之間的連接關(guān)系，由此可建立矩陣形式的基爾霍夫電流定律。與此相似，當(dāng)用回路電流法分析電路時(shí)，必須建立回路與支路之間的關(guān)系，如必需知道回路是由那些支路所組成，支路與回路之間的參考方向關(guān)系。這些關(guān)系可以用一個(gè)回路矩陣來描述。的行對(duì)應(yīng)于某一回路，的列對(duì)應(yīng)于某條支路，矩陣的元素滿足以下關(guān)系：

（7-3-1）

矩陣充分反映了回路與支路的關(guān)聯(lián)情況。

在用回路電流法分析計(jì)算電路問題時(shí)，選取正確合適的獨(dú)立回路是一個(gè)重要的問題。對(duì)于某一電路，可以選擇許多不同的回路。如對(duì)于圖7-3-1所示的網(wǎng)絡(luò)有向圖，至少可以選擇7條不同的回路來列寫回路矩陣。但這樣列出的回路矩陣中，有些回路對(duì)應(yīng)的中的行是線性相關(guān)的，即是說中的某些行可以通過其它行的代數(shù)運(yùn)算而得到。在電路分析中，當(dāng)用基爾霍夫定律建立回路方程時(shí)，只有一組線性獨(dú)立的回路電壓方程才有實(shí)際意義。在前面已討論過如何選取網(wǎng)絡(luò)的回路來獲得獨(dú)立的基爾霍夫回路電壓方程，獨(dú)立回路可以選取單連支回路。選擇單連支回路來建立的回路矩陣，稱為基本回路矩陣，用來表示。如對(duì)于

圖 7-3-1

圖7-3-1所示網(wǎng)絡(luò)，若選取支路1、2、3作為樹，可寫出它的基本回路矩陣為：

基本回路矩陣為階矩陣。矩陣的秩等于矩陣的行數(shù)。

上面在對(duì)圖7-3-1網(wǎng)絡(luò)編號(hào)時(shí)，若支路編號(hào)采取先樹支后連支的安排，這樣建立的基本回路矩陣右半部是一個(gè)l階的單位矩陣（l為連支數(shù)）即基本回路矩陣可以表述為：

（7-3-2）

這里要指出的是，回路矩陣的行反映了某一回路與支路之間的關(guān)系，而回路矩陣的列則反映了某一支路與所有回路之間的關(guān)系。即是說，從某一列元素中可以看出有多少回路穿越該支路，且可判別出回路方向與支路方向之間的關(guān)系，它實(shí)際上隱含著支路電流與回路電流之間的關(guān)系信息。

對(duì)于平面網(wǎng)孔，另一種選取獨(dú)立回路的方法是選擇網(wǎng)孔回路，由網(wǎng)孔回路建立的回路矩陣稱作網(wǎng)孔回路矩陣，可用來表示。如對(duì)于圖7-3-1所示的網(wǎng)絡(luò)，可寫出其網(wǎng)孔回路矩陣為：

這里取回路方向?yàn)轫槙r(shí)針方向。

回路矩陣的每一行元素反映了該回路中所包含的支路及其方向。若設(shè)網(wǎng)絡(luò)支路電壓的參考方向與支路電流方向一致，寫成列向量為，用回路矩陣左乘支路電壓列向量u，可得個(gè)元素的列向量，其中每一行都包含了該回路中所有支路電壓代數(shù)和，且當(dāng)支路電壓方向與回路一致時(shí)為正，反之為負(fù)。由基爾霍夫電壓定律可知，任一閉合回路的電壓代數(shù)和恒為零，因此可知與u的乘積為零，即有：

（7-3-3）

（7-3-4）

對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)交流電路，有：

（7-3-5）

（7-3-6）

對(duì)于圖7-3-1所示的網(wǎng)絡(luò)，其支路電壓列向量為用前面得到的基本回路矩陣左乘u，可得：

由上式可看出，乘積的每一行是各回路中支路電壓代數(shù)和，是基爾霍夫電壓定律的反映，式7-3-3和7-3-4稱為矩陣形式的基爾霍夫電壓定律。

下面分析支路電流與回路電流之間的關(guān)系。前面已指出，回路矩陣的每一列元素實(shí)際上是反映某一支路中所穿過的回路和方向。設(shè)回路電流列向量為，則用左乘后，乘積的每一行之和恰為流過該支路中所有回路電流的代數(shù)和，且回路電流方向與支路方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)。由回路電流法解題的知識(shí)可知，任一支路中所有回路電流代數(shù)和為該支路電流之值。因此可知與的乘積為支路電流列向量i，即：

（7-3-7） 或 （7-3-8）

例如對(duì)于圖7-3-1所示網(wǎng)絡(luò)，選單連支回路為獨(dú)立回路，此時(shí)回路電流即為連支電流，有：

用左乘，得：